理论物理导论精要.pptVIP

理论物理导论 说明： 1、数学上，哈密顿形式上为一阶微分方程（2s个），而拉格朗日形式上为二阶微分方程——简化数学计算； 3、哈密顿正则形式对称，有利于从经典力学到量子力学的过渡。 2、哈密顿方程中， 地位平等——相互共轭的正则变量； 例题：写出有心力场中两个质点系统的运动方程。 解：两质点系统的质心坐标为： 选取为球坐标系的原点，球坐标系与直角坐标系的关系为： 解上两式得： 将 对t求导，代入拉格朗日函数得： 与 相对应的动量 为 其中 ，称为折合质量 LOGO * LOGO 赣南师范学院物理与电子信息学院 1 2 3 4 四大力学： 理论力学 量子力学 电动力学 热力学统计物 牛顿力学回顾 物体的机械运动即物体的空间位置随时间变化。 一、研究对象 二、牛顿的时空观 （ 狭义相对论的时空观） 时间、空间、质量三个基本物理量是绝对的，它们与运动无关且彼此独立，“同时性”和力学规律也是绝对的，而物体的坐标和速度是相对的。 三、力学状态的确定 同时给定物体的坐标和速度（量子力学与此不同） 四、力学规律的表达形式 力是力学系统的核心。 力学系统的运动微分方程： 力是力学系统的核心。 五、伽利略相对性原理（爱因斯坦相对性原理） 六、牛顿力学的适用范围 低速（ ）、宏观物体（ ）的运动。 力学规律在所有惯性系中都是等价的，不存在特殊的惯性系。 问题：力学规律是否只有牛顿形式？ 力学规律的其它表述形式：拉格朗日形式、哈密顿形式。 分析力学的主要内容 经典力学：牛顿力学＋分析力学 §1-1　自由度和广义坐标 一个自由质点在空间的位置可以用三个独立参数来确定，我们说该自由质点有3个自由度。一般质点运动会受到约束限制，则其自由度数会减少，在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参数的数目等于系统的自由度数。 例如：一质点M 限制在球面的上半部运动，则 故该质点在空间的位置由x、y 就可确定，其自由度数为2。 对完整系统，广义坐标数目等于系统的自由度数。 一般讲，一个由n 个质点组成的质点系，若受到s 个完整约束作用，则其在空间的位置可由N=3n-s 个坐标完全确定下来，我们把这些描述质点系在空间中位置的独立参数，称为广义坐标，用 来表示。广义坐标对时间的微商 称为广义速度，用 来表示。 上式说明广义坐标的选择并不是唯一的。 如上面例题的质点M的位置由x，y 确定，则x，y 就是其一组广义坐标，此外，我们也可以选取其它的一组独立参量来表达其位置： §1-2 拉格朗日方程 力是力学系统的核心，求解运动方程需要知道物体的受力情况。 牛顿力学的运动微分方程： 拉格朗日方程的特点是避开矢量力，而利用标量动能和势能来描述运动。 从牛顿方程出发推导拉格朗日方程 1、单个质点不受约束需三个独立坐标描述其位置，即有三个自由度。 直角坐标系中： 2、单个质点在保守力场中运动： ——势能函数 由牛顿第二定律，质点的运动方程为： 分量形式： 又记x，y，z为x1，x2，x3，上式又写为： 上式合写为： 说明： (1)、以上选取的是直角坐标系，但坐标系的选取要根据具体情况而定。 (2)、若U=U(r)，即势能仅是质点到力心距离的函数，此时适宜于选取球坐标系。 3、直角坐标系中质点的动能为： 上式再对时间求微分得： 动能对 求偏导 由 和 二式相加得 ： 4、引入拉格朗日函数L 动能T仅是速度 的函数，势能U仅是坐标 的函数，因此 此式即为用拉格朗日函数表示牛顿运动定律的拉格朗日方程。 可以证明，将 换成广义坐标 ，即可得到用广义坐标表示的具有s个自由度的系统的一般形式的拉格朗日方程。 说明： 1、拉格朗日方程是力学系统的基本运动方程，运动方程在牛顿力学中是牛顿第二定律，在分析力学中是拉格朗日方程。 2、在分析力学中特