数学二串讲2(导数与微分)摘要.pptVIP

* 其中 可微 , 另解: 解: * 解： 幂指函数 的求导方法有两种： 方法1： 对数求导法 然后用隐函数求导法求导. 方法2： 利用复合函数求导法 变形为 然后用复合函数求导法求导. * 例13. 解： 求导小技巧：先变形再求导 * 注：由参数方程所确定的导数的求导法： 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 关系, 法1：由复合函数及反函数的求导法则得 即 法2：由微商及微分的计算求导 ? 已知 注意 : 对谁求导? * 单值可导隐函数 并求 公式法： 在点(0,0)某邻域 可确定一个 两边微分 微分法： * 两边对 x 求导 直接求导法： 令 x = 0 , 注意此时 两边对 x 求导 小技巧 单值可导隐函数 并求 在点(0,0)某邻域 可确定一个 提示： 两边取对数 * 例15. 设 试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求 解： 得可导必连续 即 * 是否为连续函数 ?如何求 判别: 即 练习： 注意：分段函数求导时，分界点处的导数用左右导数的定义求.其他点处的导数用公式和法则求. * 例16 设 解 例17 设 解 注意区分符号： * 题型6：导数的应用 例18. 解： 对方程分别对t求导得 所求切线方程为 * 例19(书上的习题) 解： 注意：要写清楚对谁求导，不写的话就是对自变量x求导. 谢 谢 大 家！再见 则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 . [03数二] 设函数y=f(x)由方程 所确定， * 考研数学二串讲 主讲教师:杜守旭 * 第二章 一、 导数和微分的概念及应用 二、 导数和微分的求法 导数与微分 三、典型题型的解题方法与技巧 * 一、 导数和微分的概念及应用 ★导数 : 当 时,为右导数 当 时,为左导数 ★微分 : ★可导与可微的概念： 可导 存在. 可微 其中A是与 无关的常数. 特点是：“分子一定一动，分母有左有右” 分子是函数值之差， 分母是相应的自变量之差，分母趋于零的极限. 能 * 联系: 区别：可从定义式子；实质；几何意义三方面考察. ? 是函数相对于自变量的变化率. ? 是相对于自变量改变量为 时， ★导数与微分的区别与联系 函数改变量 的线性主部. 即 当 是曲线的纵坐 标增量时， 就是切 线纵坐标对应的增量. * ★可导与可微的区别与联系: 区别：可从定义式子；几何意义两方面考察. 可导 存在. 可导 一定有切线 且切线不垂直于x轴. 以直代曲 当 很小时， 在点M的附近， 可用切线段近似地代替曲线段. 可微 联系： 可微必可导，可导必可微. 可微 其中A是与 无关的常数. 能 * ★ 几个定理 定理1 定理2 定理3 在 处可导 在 处连续 在 处的极限一定存在， 即 存在. 在 可微 可微 可导 连续 有极限 有定义 在点 可微 在点 处可导 * 思考： * ★应用 : (1) 利用导数定义解决的问题 (2) 用导数可求切线与法线的方程 4）用导数定义求极限； 2) 求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊 函数在特殊点处的导数; 3) 由导数定义证明一些命题； 1) 利用导数的定义求函数在某点处的导数； 用导数可求变速直线运动的速度与加速度 5）判断函数在某一点的可导性. * 1）几何应用 (1)几何意义： 是y=f(x)在点 (2)切线、法线的方程： 切线的方程： 法线的方程： 2）物理应用 瞬时速度： 瞬时加速度： 处切线的斜率. 例1 曲线L的极坐标方程为 ，则L在点 处的切线方程为 ． (2014数学二) 例2 曲线 上对应于 处的法线方 程为 ． （2013数学二） * 二、 导数和微分的求法（微分法） 1. 正确使用导数及微分公式（16个）和法则（四则法则；锁链法则；反函数求导法则） 2. 熟练掌握求导方法和技巧 (1) 求分段函数的导数 注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等 (2) 隐函数求导法(直接法、微分法） (3) 参数方程求导法（复合函数法、微商法） (5) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性) (6) 高阶导数的求法 （逐次求导归纳 ;间接求导法） (4) 对数函数求导法（对多个因式的积商、乘方开方及幂指函数有用） * 3.常数和基本初等函数的导数及法则 * ★有限次四则运算的求导法则（注意条件） ( C为常数 ) ★复合函数求导法则（注意条件） ★反函数的求导法则（注意条件） ★初等函数在定义区间内可导, 且导数仍