专题一复数与数列.docVIP

专题一 复数与数列 　　复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握． 例1 设数列是首项为48，公比为的等比复数列． （1）求． （2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成，试求． （3）求无穷级数的和． 分析：利用三角形式解决本题． 解：（1）． ． （2）使为实数的最小自然数是6，数列是首项为48，公比为的等比数列．所以． （3）这个级数是公比的无穷等比级数，从而 和． 例2 今定义复数列如下， （，为正的常数．问复数的辐角的正切与哪一个值最接近？（当时） 分析：寻求的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论． 解：的辐角记作，． （1）当时，， 所以． （2）当时， 所以 ． 　　涉及复数列的问题，所学过的数列的求和公式及构造方法同样可以应用到复数列中去． 例3 （1）设在复数列之间有如下关系： ，其中是常复数．当时，试将的值用表示． （2）若（1）中的，求在圆（是复数）的内部总共含有的个数． 解：（1） …… 于是，从得，． （2），所以 要使在圆的内部，它的充分必要条件是，所以 ．即，而，所以． 又， 能适合的只是．在逐个验证这五个点确信都在圆的内部，故符合条件的点共有5个． 复数乘除的几何意义是处理某些与几何图形有关的数列的基本手段之一． 例4 设平面上有点，如图所示，其中，线段，的长成首项为1，公比为的等比数列． （1）若，则当时，与哪一点无限接近？ （2）将（1）中的极限点用表示．若固定而变动时，点所描述的是怎样的曲线？ 解：（1），此时，若将表示点的复数记作，则有，其中就是原点．于是 ． ．因此，若，令，则 ，所表示的点与所表示的点最靠近． （2），则有，固定，做变动，点总在以原点为圆心的圆周上．但因，故有．于是 当点在以原点为中心，为半径的圆上，点相应的在以点为圆心，为半径的圆上． 常见的分析几何图形中的数列问题的方法结合复数乘除的几何意义，是解决这类问题的重要手段。 例5 设在复平面上， （1）原点为，表示复数的点为，点由， 的交角为所确定。试求表示点的复数。这里是实数。 （2）点列由下述方式确定：取，取，由，以及的夹角所定义。试求被表示为复数。 （3）若（2）中，，且记， ，将化简。 解：（1）将表示的复数记作， 则对有关系的点表示为 复数，就是，从而 ，所以 。 （2）所表示的点，则用复数分别表示为 。由，推出 ，因此，数列是首项为，公比为的等比数列。 所以（是正整数）。 所以。 （3）数列仍为等比数列，故可求得。