专题7三角形四边形存在性问题.doc

专题7：三角形四边形存在性问题 一、选择题 二、填空题 三、解答题 1. （2012海南省I13分）如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上， OA交其对称轴于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON （1）求该二次函数的关系式. （2）若点A的坐标是（6，－3），求△ANO的面积. （3）当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①证明：∠ANM=∠ONM ②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由. 【答案】解：（1）∵二次函数图象的顶点为P（4，－4），∴设二次函数的关系式为。 又∵二次函数图象经过原点（0，0），∴，解得。 ∴二次函数的关系式为，即。 （2）设直线OA的解析式为，将A（6，－3）代入得，解得。 ∴直线OA的解析式为。 把代入得。∴M（4，－2）。 又∵点M、N关于点P对称，∴N（4，－6），MN=4。 ∴。 （3）①证明：过点A作AH⊥于点H，，与x轴交于点D。则 设A（）, 则直线OA的解析式为。 则M（），N（），H（）。 ∴OD=4，ND=，HA=，NH=。 ∴。 ∴。∴∠ANM=∠ONM。 ②能。理由如下：分三种情况讨论： 情况1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=450， ∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH，即。 整理，得，解得。 ∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。 情况2，若∠AON是直角，则。 ∵ ， ∴。 整理，得，解得，。 舍去，（在左侧）。 当时，。 ∴此时存在点A（），使∠AON是直角。 情况3，若∠NAO是直角，则△AMN∽△DMO∽△DON，∴。 ∵OD=4，MD=，ND=，∴。 整理，得，解得。 ∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。 综上所述，当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动时，存在点A（），使∠AON是直角，即△ANO为直角三角形。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，锐角三角函数定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。 【分析】（1）由二次函数图象的顶点为P（4，－4）和经过原点，设顶点式关系式，用待定系数法即可求。 （2）求出直线OA的解析式，从而得到点M的坐标，根据对称性点N坐标，从而求得MN的长，从而求得△ANO的面积。 （3）①根据正切函数定义，分别求出∠ANM和∠ONM即可证明。 ②分∠ONA是直角，∠AON是直角，∠NAO是直角三种情况讨论即可得出结论。 当∠AON是直角时，还可在Rt△OMNK中用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解： ∵OP=PN=PM，OP= ∵ PN=－4 ， ∴=－4 。 ∴。 2. （2012山西省14分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标； （2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标． 【答案】解：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3。 ∵点A在点B的左侧，∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。 当x=0时，y=3。∴C点的坐标为（0，3）。 设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），则 ，解得。 ∴直线AC的解析式为y=3x+3。 ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）。 （2）抛物线上有三个这样的点Q。如图， ①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）； ②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）； ③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）。 综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）。 （3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B