专题7三四边形存在性问题教师版01.docVIP

1. （2012海南省I13分）如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上， OA交其对称轴于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON（1）求该二次函数的关系式.（2）若点A的坐标是（6，－3），求ANO的面积.（3）当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：证明：ANM=∠ONM ②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由. 【答案】解：（1）二次函数图象的顶点为P（4，－4），设二次函数的关系式为。 又二次函数图象经过原点（0，0），，解得。 二次函数的关系式为，即。 （2）设直线OA的解析式为，将A（6，－3）代入得，解得。 直线OA的解析式为。把代入得。M（4，－2）。 又点M、N关于点P对称，N（4，－6），MN=4。。 （3）证明：过点A作AH于点H，，与x轴交于点D。则设A（）,则直线OA的解析式为。则M（），N（），H（）。 OD=4，ND=，HA=，NH=。 。。ANM=∠ONM。 能。理由如下：分三种情况讨论：情况1，若ONA是直角，由，得ANM=∠ONM=450， AHN是等腰直角三角形。HA=NH，即。整理，得，解得。 此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使ONA是直角。 情况2，若AON是直角，则。 ， 。整理，得，解得，。 舍去，（在左侧）。当时，。此时存在点A（），使AON是直角。 情况3，若NAO是直角，则AMN∽△DMO∽△DON，。OD=4，MD=，ND=，。 整理，得，解得。此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使ONA是直角。 综上所述，当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动时，存在点A（），使AON是直角，即ANO为直角三角形。 2. （2012山西省14分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标； （2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出M点的坐标． 【答案】解：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3。点A在点B的左侧，A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。当x=0时，y=3。C点的坐标为（0，3）。 设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），则，解得。 直线AC的解析式为y=3x+3。y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，顶点D的坐标为（1，4）。 （2）抛物线上有三个这样的点Q。如图， 当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）； 当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）； 当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）。 综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）。 （3）点B作BB′AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求。过点B′作B′Ex轴于点E。1和2都是3的余角，1=∠2。Rt△AOC∽Rt△AFB。。 由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，AC=，AB=4。，解得。BB′=2BF=，由1=∠2可得RtAOC∽Rt△B′EB，。。B′E=，BE=。OE=BE﹣OB=﹣3=．B′点的坐标为（﹣，）。设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0），则，解得。直线BD的解析式为：。联立BD与AC的直线解析式可得： ，解得。M点的坐标为（）。 3. （2012陕西省10分）如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是 三角形； （2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值； （3）如图，OAB是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 【答案】解：（1）等腰。（2）抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形， 该抛物线的顶点满足（b＞0）。b=2。 （3）存在。如图，作OCD与OAB关于原点O中心对称， 则四边形ABCD为平行四边形。当OA=OB时，平行四边形ABCD为矩形。