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量子力学 （B卷）参考答案 一 填空( 2分×20空=40分) 1．德布罗意关系式为 。 2．微观粒子体系的状态用 波函数 来进行描写。 3．微观粒子的波函数满足的薛定谔方程是 。 4．厄密算符的本征函数具有???????正交归一性????????????。 5．粒子的坐标和动量的测不准关系式是。 6.为氢原子的波函数，的取值范围分别为,,。 7．对易关系 ，。 8．如两力学量算符有对易关系，则它们有 共同本征函数 完全系。 9．算符在其自身表象中是一个 对角 矩阵。 10．偶极跃迁中，角量子数与磁量子数的选择定则为. 11. 在国际单位制中，轨道磁矩与轨道角动量的关系是；自旋磁矩与自旋角动量的关系是。 12．自旋为奇数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数是 反 （正、反）对称的， 服从 （服从、不服从）泡利不相容原理。 13．为泡利算符，则 ???3?????? ， ??????0 。 二 计算题(选做5题，每题12分，共60分) 1．(1分) 一维势场中运动的能级和对应的波函数.，定态薛定谔方程为，因为波函数以及波函数的一阶、二阶导数都有限，所以 。 (3分)，定态薛定谔方程为 令，方程化简为 其解为 (3分) ，可得 A和B不能同时为0，否则为0，因此我们得到两组解： 可得 所以，又因，所以 (3分) 即 利用归一化条件，可得 故 把波函数结合起来可得 (3分)2．(1分)一粒子处于范围在的一维无限深势阱中，状态用波函数描述。已知其能量的本征态及本征值为， ，求粒子能量的可能值及相应概率。(6分)(6分)(12分) 求的本征值和所属的本征函数。的属于本征值的本征函数为， 本征方程为： 由此得 使有非零解的条件 所以。 (4分)的本征值为。 设对应于本征值的本征函数为 由本征方程 ， 得 由归一化条件 ，得 即 ∴ 对应于本征值的本征函数为 (4分)的本征函数为 由本征方程 由归一化条件，得 即 ∴ 对应于本征值的本征函数为 (4分)．(1分)，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为，a和b都是实数，用微扰公式求能量至二级修正值。 解：因为，由微扰论公式可得 (6分) (6分)．(1分)求中，求。 解： (5分) (5分) (2分)．（3分） (3) 力学量与力学量算符关系的假设：力学量用厄密算符表示，它的本征函数组成完全系，当体系处于波函数时，可用某力学量算符的本征函数展开，，测量力学量所得的数值必是算符的本征值之一，测得的几率为。(3分) （4）全同性原理：在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。 （3分） 4