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第3章 静电场及其边值问题的解法 3.1 / 3.1-1 一个半径为a，d极薄的肥皂泡对无穷远点的电位为U0。当它破灭时假定全部泡沫集中形成一个球形水滴。试求此水滴（drop）对无穷远处的电位Ud。若U0 20V，a 3cm，d 10μm，则Ud ? [解] 均匀带电球在场点处电场可由高斯定理得出： 故均匀带电球表面至无穷远处的电位为 （1） 得肥皂泡带电量为 水滴上将载有相同的电量，其电位也由 1 式得出，只是其半径为b，该半径可根据肥皂泡壁体积求出： 得 从而有 3.2 / 3.1-2空气中有一半径为a的球形电荷分布，已知球体内的电场强度为（r a），C为常数。求：a 球体内的电荷分布；b 球体外的电场强度；c 球内外的电位分布；d 验证静电场的电位方程。 [解] a 由高斯定理，得 r a b 由，对球外区域得 r a c 取 处为电位参考点，得 d 得证。 得证。 3.3 / 3.1.3空气中有一半径为a，体电荷密度为ρv的无限长圆柱体。请计算该圆柱体内外的电场强度。 [解] 与该圆柱体同轴作一半径为、长为L的圆柱面，取该圆柱面及其上下底面为高斯面，有 高斯面内电荷量为，从而由高斯定理知 得 得 3.4 / 3.1-4 已知空气中半径为a的圆环上均匀地分布着线电荷，其密度为ρl，位于z 0平面，试求其轴线上任意点P（0，0，z）处的电位和电场强度（参看图2.1-7，注意与之不同）。 [解] 圆环上点电荷在P 0,0,z 处产生的电位为 故 3.5 / 3.1-5已知空气中半径为a的圆盘上均匀地分布着面电荷，其密度为ρs，位于z 0平面，试求其轴线上任意点P（0，0，z）处的电位和电场强度（参看图2.1-7，注意与之不同）。 [解] 在圆盘上取一半径为，宽度为的圆环，其电荷量为。故该圆环在P点产生的电位为 3.6 / 3.2-1在均匀介质内部任意点处，体束缚电荷密度总等于该处体自由电荷密度ρv的 倍，请证明之。 [证] 由式 3.2-6 ，代入式 3.2-10 及式 3.1-2 知 得证。 3.7 / 3.2-2 已知空气中有一导体球，半径为a，带电量为Q，其外面套有外半径为b、介电常数为ε的介质球壳。试求：a r a，a r b，r b各区域的和；b 介质球壳中的体束缚电荷密度和其内外表面处的面束缚电荷密度。 [解] a 利用高斯定理，取半径为r的球面为高斯面，得 r a: : r b: b 3.8 / 3.2-3平行板电容器的宽和长分别为a、b，两极板间距为d a、b，板间电压为U。 a 电容器的左半空间（0~）用介电常数为ε的介质填充， b 电容器的下半空间（0~）用介电常数为ε的介质填充；另一半均为空气。 请分别对a 、b 求下极板上的电荷密度及介质下表面的束缚电荷密度（参看题图3-1）。 a b 题图3-1 二平行板电容器 [解] a 方向: 上极板为正电荷, 下极板为负电荷 , 为方向，即介质表面外法线方向 又 当 时,介质表面束缚电荷: b , , 方向: , 又 , 于是: ; , 上极板带正电荷,下极板带负电荷 时,束缚面电荷密度为: 时,介质表面外法线方向为, 所以: 3.9 / 3.2-4 一均匀带电无限长直导线，其线电荷密度为ρl 10-8C/m2，cm处的极化强度P 1.27×10-8C/m，求导线周围介质的介电常数ε。 [解] 因源为无限长直导线,故电场分布具有对称性，应用高斯定理: 得: 在- 库/米2 则, 3.10 / 3.3-1对图3-1 b 所示平行板电容器，，求：a 二区域的电场强度和电位函数；b 电容，[解] a 故 , 得 取下极板为零电位，则 校： b 极板上面电荷密度为 其电荷量为 故电容量为 3.11 / 3.3-2 对图3-1（a）所示平行板电容器，ε 3ε0，求其电容，设平板面积为A0。 [解] 故 极板上面电荷密度为 ， 其电荷量为 故电容量为 3.12 / 3.3-3 对图3.1-3所示平行双导线，若左侧导线半径为a，b，二者轴线相距d b a，求其单位长度电容C1；若a b，则C1 ？ [解] 因d b a，按例3.1-3同样的推导得空间任意点处电位为 双线间电位为 故单位长度电容为 若a b，则 3.13 / 3.3-4对图3.4-2 a 所示同轴线，其内外导体半径分别为a、b，中间充填介电常数分别为的二层介质，分界面半径为c。求：a 二介质区域的电位函数和；b 单位长度电容C1。 [解] a 由例3.4-1知，二介质区域电场强度分别为 ， 取外导体为零电位，则 b 由例3.4-1知，外导体表面线电荷密度为 故单位长度电容为 3.14