高数考研辅导方法上分析报告.pptVIP

第二讲 1-1 函数和连续的概念、性质和应用 2 基本特性 4、 等比数列的前n 项和的公式 2. 函数的连续与间断 2 闭区间上连续函数的性质 例1. 设 例2. 求常数k及函数g x ,使函数 例3. 设 例4. 设 例5.求函数 例6.设函数 例7. 函数 例8. 讨论下述函数的连续与间断问题 1-2 求极限的方法 P13 第二节 求极限的基本方法 2.求未定式的极限的方法 3 善于利用等价无穷小替换 泰勒公式 说明: 2 和差代替规则: 3 因式代替规则: 二. 实例分析 例2. 求 例4. 求 例5. 设 例6. 求 例7. 求函数 例8 例4 练习 已知 2 因为 例9. 当 例10. 已知 例5 设函数 例11 当 例12. 设 例13 计算 例14 例15 求 例16、求 例17 求极限 解 3、 例18 1、 求 2、计算 例19. 求 例20 说明 例21 例22 例23 设函数 例17 求极限 例23 例24 设 例25 设数列 例26 设 例27 P74 题6. 证明: 若 例28. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度 解: 当 时的等价无穷小. 时 与 小，求C. 解 是等价无穷 则 2014考研4 当 时，若 均是比x高阶的无穷小，则 的取值范围是（ ）； 所以 解 ， 1 求 的值， 2 当 时， 是 求常数 解 由题意 1 ； 的同阶无穷小, 的值。 2012考研 ，则 可知当 时， 因此 与x是同阶无穷小， 时，用 表示比x高阶的无穷小， 则下列式子中错误的是（???）； 解 如果 ，但 ，即 （2013考研） ，其中 为常数，且 ，则（?? ）； （2013考研） 解 解: ，若 则 A、 B、 C、 D、 故 2014考研5 时 与 解 是等价无穷小，求n和a. （2013考研） 利用 ，其中 ，则当 时， 是（ ）； 比x高阶的无穷小； （2013考研） 比x同阶但不等价的无穷小； 是x的等价无穷小。 所以 是比x同阶但不等价的无穷小。 比x低阶的无穷小； 解 因为 2013考研 解 2013考研 型 证: 原式 对指数用洛必达法则 解 令 则 2010考研 1、 2011考研 2、 所以 因为 2012考研 解: 一般，若 则 2012考研 P43 题21 3 解: 原式 利用 ～ ～ ～ 解: 因为 当 或 所以 利用泰勒公式求极限 利用导数定义求极限 利用微分中值定理求极限 求极限的特殊方法: 利用定积分定义求极限 解 P27 例8 原式 由洛必达法则 解 2005 考研） 连续， 求极限 令 原式 由积分中值定理 或 原式 （2014考研178） 解: 设 由夹逼准则得 求 证明: 严格单调增加，且有界，则 证明 存在。 时，有 连续存在， 严格单调增加，且有界， 所以 存在，则 存在。 或者 存在。 满足 （1）证明 存在，并求之;（2）计算 解（1）因为 则当 时， 单调减少。又 有下界，根据准则， 存在， （2） 递推公式两边取极限得 2009考研 证明: 设 得 则 单调减少，且有下界， 存在。 即 * 研究函数与极限 的 基本方法 函数 研究的对象 极限 研究的工具 连续 研究的桥梁 微积分学的基础 英 1642-1727 德1646-1716 法1789-1857 一. 方法指导 1. 对函数的理解和讨论 1 定义 定义域 对应规律 值域 基本要素 定义域 使表达式及实际问题有意义的自变量取值集合 . 对应规律 表示方式: 图象法; 表格法 . 解析法; 值域 有界性 , 单调性 , 奇偶性, 周期性. 3 基本结构 基本初等函数 复合运算 反演运算 初等函数 非初等函数 分段函数 级数表示的函数 ………… 四则运算 有限次运算且用一个式子表示 4 常用的等式与不等式 设等比数列 前n 项的和为S n ,即 根据等比数列的通项公式， 上式可以写成： 上式两边同时乘以q 有： 上（1）式两边分别减去（2）式的两边得： 当 时 特别 1 连续性的等价形式 在 连续 当 时 有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理 ; 零点定理 3 函数的间断点 第一类间断点 可去间断点: 跳跃间断点: 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 二. 实例分析 其中 满足 判断 的奇偶性. 解: 令 则 故 为奇函数 . 又令 y 0 ,得 故 而 故 为奇函数 . 因此 为偶函数 . 为连续的奇函数。 解: