2函数极限的性质.docVIP

§2　函数极限的性质 教学章节：第三章 函数极限——§2　函数极限的性质 教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质. 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等. 教学重点：函数极限的性质及其计算. 教学难点：函数极限性质证明及其应用. 教学方法：讲练结合. 教学过程： 引言 在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限： 1、；2、；3、；4、;5、；6、. 它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以为代表来叙述并证明这些性质.至于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可. 一、函数极限的性质 性质1（唯一性） 如果存在，则必定唯一. 证法一 设，,则 当时， , (1) 当时， . (2) 取 ，则当时（1）和（2）同时成立. 因而有 , (3) 由的任意性，（3）式只有当时，即时才成立. 证法二 反证,如，且，取，则，使当时，, 即 ?矛盾. 性质2（局部有界性） 若存在，则在的某空心邻域内有界. 证明 取, 由 , , 当时, 有, 即 ， 说明在上有界，就是一个界. 性质3（保序性） 设，. 1），则，当时有； 2），当时有，则.（保不等式性） 证明 1） 取即得.2）反证，由1）即得. 注 若在2）的条件中, 改“”为“”, 未必就有 以 举例说明. 推论（局部保号性） 如果且，则使当时与同号. 性质4（迫敛性）　设，且在某内有，则. 证明 , 由，，使得当时， 有，即 . 又由，，使得当时 ，有， 即. 令，则当时，有 即 ，故 . 性质6（四则运算法则） 若和都存在，则函数当时极限也存在，且 1）；2）. 又若，则当时极限也存在，且有 3）. 3）的证明 只要证，令，由，使得当时，有， 即 . , 仍然由，, 使得当时，有. 取，则当时，有 即 . 二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限 利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限： （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限, 代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 例1　求. 例2　求. 求. 例4 注 关于的有理分式当时的极限. 参阅[4]P37. 例5 [利用公式]. 例6 例7 例8 例9 例10 已知 求 和 参阅[4]P69. 作业 教材P51—52 1 -7，8(1)(2)(4)(5)； 补充题 已知 求和 () 例11 求和. 解法一 又 解法二 ， 由且原式极限存在， ，即 . 《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 武汉科技学院理学院 1