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高考中的分段函数 　　【摘要】分段函数是高考的一个热点，对于分段函数的考查其实就是考查函数的相关知识和性质，以及分类讨论、数形结合、方程等数学思想。所以分段函数的解决，关键要在函数的性质、基本概念和分类讨论等数学思想上下功夫。 　　【关键词】分段函数 高考 　　分段函数一直是高考命题的热点，纵观近年来的高考数学试题，我们发现其综合性越来越强，本文结合2012年与2013年高考题归纳常用的解法，分析试题的变化。 　　一、分段函数与求值 　　所谓分段函数，即在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式。显然，求分段函数的函数值重在考查分段函数的概念。 　　例1.（江西12年），设函数， 则 　　A. B.3 C. D. 　　解：∵ = ∴ ，选D 　　这类题型是求分段函数函数值的经典题型，一般来说求函数值的题型难度不大，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值。近年来的高考在这类求值题型中，变化较大，首先出现的是求函数f[f（a）]值，再次出现已知f（x）=a求自变量x的值，如（北京文2009年）已知函数 若f（x）=2，则x =________.这两年又出现求系数或者综合其他知识求值。 　　例2.（江苏12年），设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1]上， 其中a，bR.若， 　　则a+3b的值为▲. 　　解：f（x）周期为2，故f（-1）=f（1）， 　　即 ，解得a=2，b=-4，所以a=3b=-10 　　此题综合函数的周期，得出f（-1）=f（1）， 是关键，考查了分段函数、函数周期以及方程思想。 　　例3.（陕西13年），设函数 ， 则当x0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为 　　（A）-20 （B） 20 （C）-15 （D） 15 　　解：当x0时， ，其展开式常数项为 　　，选A 　　本题考查了分段函数与二项式定理。 　　二、分段函数与奇偶性 　　例4.（山东13年），已知函数f（x）为奇函数，且当x0时， 　　f（x）=x2+ ，则f（-1）=（ ） 　　（A）-2 （B）0 （C）1 （D）2 　　解法1：∵函数f（x）为奇函数，∴ ，选A 　　解法2：当x0，故 　　又函数f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x） 　　所以当x0时， ∴ 　　例5.（四川13年），已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-4x，那么，不等式f（x+2）5的解集是____________. 　　解：当x≥0时，由f（x）=x2-4x5，得0≤x5 　　又因为f（x）是定义域为R的偶函数，所以f（x）5的解为-5≤x5 　　而f（x+2）是把f（x）的图像向左平移得到， 　　∴f（x+2）5的解集为（-7，3） 　　三、分段函数与图像 　　分段函数作图题的一般解法：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成，作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个以上的点。 　　例6.（天津12年），已知函数 　　的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________. 　　解 ， 　　图像如右图。 　　∵函数y=kx-2的图像直线 　　恒过定点B（0，-2）， 　　且A（1，-2）， 　　C（-1，0），D（1，2）， 　　∴ ， 　　， 　　， 　　由图像可知 　　k （0，1） （1，4） . 　　含绝对值的函数一般都可化为分段函数，结合图形可求函数的值域或有关参数的值。 　　四、分段函数与不等式 　　分段函数本身蕴含着分类讨论与数形结合的重要数学思想方法，而解不等式有时又伴随着参数的问题，这也会用到分类讨论与数形结合思想。如果把分段函数与不等式相结合将能更好地体现这一思想方法。 　　例7.（天津13年），已知函数f（x）=x（1+a〡x〡）. 设关于x的不等式f（x+a）f（x） 的解集为A， 若 ， 则实数a的取值范围是 　　（A） （B） 　　（C） 　　（D） 　　解：f（x）=x（1+a|x|） 　　= 　　若不等式f（x+a）f（x）的解集为A，且， 　　则在区间 上，函数y=f（x+a）的图象应在函数y=f（x）的图象的下边. 　　（1）当a=0时， 　　显然不符合条件. 　　（2）当a0时， 　　画出函数y=f（x） 　　和y=f（x+a） 　　的图象大致 　　如右图. 　　由图可知，当a0时，y=f（x+a）的图象在y=f（x）图象的上边，故a0不符合条件. 　　（3）当a0时，画出函数y=f（x）和y=f（x+a）