_函数的单调性与曲线的凹凸性..ppt

第三节 一、函数单调性的判定法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章 一、 函数单调性的判定法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内可导, (1) 如果在开区间 内 那么函数 在闭区间 上单调递增; (2) 如果在开区间 内 那么函数 在闭区间 上单调递减. 定理 1. 设函数 在闭区间 上连续, 在开区间 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭区间 证: 由于函数 上连续, 在开区间 内可导. 对于闭区间 上任意两点 上利用拉格朗日中值定理: 在区间 使得 由于 如果在区间 内导数 为正, 则必有 于是 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由 和 的任意性, 函数 在区间 上单调递增. 同理, 如果在区间 内导数 为负, 则必有 于是, 即 因此函数 在区间 上 单调递减. 证毕. 说明: 将定理中的闭区间换成其他各种区间(包括无穷区 间), 结论依然成立. 例1. 确定函数 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 使得函数的导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的点称为函数的驻点. 例2. 确定函数 的单调性. 解: 令 得 故 的单调减区间为 的单调增区间为 说明: 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 证明当 时, 证: 令 则 证明 目录 上页 下页 返回 结束 在区间 上连续, 在区间 内可导, 且 显然当 时, 所以函数 在区间 上单调递增. 又因为 所以当 时, 即 定义 . 设函数 (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . 图形是凸的 . 二、曲线的凹凸与拐点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭区间 上连续, 定理2.(凹凸判定法) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 在闭区间 上 连续, 在开区间 内具有一阶和二阶导数, 则 (1) 如果在区间 内 那么函数 在区间 上的图形是凹的; (2) 如果在区间 内 那么函数 在区间 上的图形是凸的; 证: 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 和 为 内任意两点, 且 由拉格朗日中值定理, 得 记 并令 和 其中 上面两式相减, 得 说明 (1) 成立; (2) 证毕 在区间 上再次利用拉格朗日中值定 上对 理, 得 于是有 由条件 知 知 且 有 即 由点 和 的任意性, 例4. 判断曲线 的凹凸性. 解: 故曲线 在 上是向上凹的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 在 两侧异号, 则点 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 求曲线 的拐点. 解: 不存在 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 求曲线 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 令 得 对应 3) 列表判别 故该曲线在 及 上向上凹, 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 凹 凹 凸 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别 + – 拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 上 则 或 的大小顺序是 ( ) 提示: 利用 单调增加 , 及 B 1. 设在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 . 2. 曲线 的凹区间是 凸区间是 拐点为 提示: 及 作业 习题3.3 1 (1), (4) ;