金融工程连续时间情形随机分析简介创新.pptVIP

* 伊藤积分与Riemann积分的区别在于f在左端点取值，还是在分划区间内的任意点取值。 * 取f(t)中间点计算的积分称为Stratonovich积分。 * 漂移率刻画随机过程中单位时间内变化的均值；方差率刻画单位时间内变化的方差。 * * 利用泰勒展式 日本科学家小林诚、益川敏英摘得了2008年诺贝尔物理学奖的桂冠，却很少有人知道，益川敏英对英语几乎一窍不通，之前从未走出过日本。 诺奖评选规则——如果某项研究进入诺奖评审程序，一定要了解当时的真实情况或原始记录，不管用什么语言记录，是否发表或发表在哪里，只要谁最先提出，当时记录了，就会被认定。这里，“原创”才是最重要的。 * * Samuelson在Mckean的帮助下得到期权定价公式。 * * d(XtYt) = (dXt+ dYt)2 +(dXt- dYt)2 * * * * * 利用e^\sigmaW_t-1/2\sigma^2t是鞅可得几何布朗运动的期望和方差。 * * * * * * * * * * * 令f(x,t)=F(x,t)exp{-r(T-t)}，则F(x,t)满足Feymann-Kac公式中的条件 * * * * * * * * * * * * 例2 考虑一个股价初值为40元，预期收益率为 16%，波动率为20%，求6个月后的股价。 由于 故 ? 注5 对几何布朗运动{St },有 即，在伊藤积分的意义下有 ? 其中?和?是常数。 练习1 利用伊藤公式求 求伊藤微分 公式 乘积的伊藤微分 商的伊藤微分 练习2 设 ，p 0是常数，计算 求解Vasicek方程 drt = (α – βrt )dt +σdWt 其中α ， β ，σ均为常数。 续 由于 故 于是 进而 欧式期权定价 基本假设 标的资产价格{St}遵循几何布朗运动 无风险利率r，?，?是常数 标的资产不支付红利 无税收、无交易费用 市场不存在套利机会，允许卖空 证券高度可分且交易连续 注 续 Black-Scholes定价思想 期权的价格完全依赖于标的股票的价格，故期权和股票的价格依赖于价格的不确定性 由于市场无套利，利用标的股票和期权构造投资组合来消除资产价格的不确定性 构造的组合在瞬间是无风险的，其回报率是无风险利率 利用It?引理，得到期权价格（作为股价和时间的二元函数）所满足的 Black-Scholes 方程 Δ-对冲 构造投资组合Π 选取Δ，使得该组合在[t, t +dt)内无风险。 在[t, t+dt)内，组合的收益为 （1） Black-Scholes方程 由It?引理， 代入(1)中，取 ，则V(S,t)满足 （2） Black-Scholes方程 续 股票价格遵循几何布朗运动，任何基于该股票的衍生品价格必满足Black-Scholes方程。 (2)有很多解，但衍生品的价格却只能有一个。 不同衍生品的价格是由不同的定解条件决定的。 Call和Put的定解条件分别为 V(S,T) =(S – K)+， V(S,T) =(K – S)+ 远期合约的定解条件为 V(S,T) = S – K，远期合约的价格为 V = S – Ke–r (T – t ) 定价问题 欧式看涨期权的定价问题 欧式看跌期权的定价问题 Feynman-Kac公式 设未知函数F(x,t)满足下面的问题 随机过程Xt满足 其中Wt 是概率测度P下的标准布朗运动， 则在一定的有界性条件下有 推广的Feynman-Kac公式 设函数f(x,t)满足下面的问题 随机过程Xt满足 其中Wt 是概率测度P下的标准布朗运动， 则在一定的有界性条件下有 风险中性定价 Black-Scholes 公式 续（1） Black-Scholes公式中的 N(x) 是标准正态分布的累计概率分布函数， 续（2） 续(3) Black-Scholes 方程中没有 ? ，这说明该定价方程不受投资人风险偏好的影响。 由于Black-Scholes 方程与投资者的风险偏好无关，故对看涨和看跌期权进行定价时，可以使用任一种风险偏好。 因此，假设所有的投资者都是风险中性的 在风险中性的世界中，