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几何重要定理一 张立民 李无为（第30届中国数学奥林匹克一等奖获得者）大庆一中 【基础知识】 梅涅劳斯定理 设直线交三边所在直线于，若三点共线，则 证明一 过作平行线交于 则，， 两式相乘得，即 证明二 由正弦定理， ， 三式相乘即得 证明三 由于，， ， 三式相乘即得 梅涅劳斯定理的逆定理 设分别是的边或其延长线上的点，且有奇数个点在边的延长线上，，则三点共线 塞瓦定理 设分别是的边或其延长线上的点，若三线平行或共点，则 这里只给出三线共点时的证明 证明一 过作平行线交于 于是有， ， 四式相乘即得 证明二 对截线以及应用梅涅劳斯定理有， 对截线以及应用梅涅劳斯定理有， 两式相除即得 证明三 由合比定理， 同理有，，三式相乘即得 注 点常称为赛瓦点 塞瓦定理的逆定理 设分别是的边或其延长线上的点，且有偶数个点在边的延长线上，，则三线平行或共点 角元形式的塞瓦定理 设分别是的边或其延长线上的点，且有偶数个点在边的延长线上，则三直线平行或共点的充要条件是 证明 由于， 同理，， 三式相乘，再运用塞瓦定理及其逆定理，知结论成立 【典型例题】 例1 在四边形中，的面积比是3：4：1，点分别在上，满足，并且共线，求证：与分别是和的中点（1983年全国高中数学联赛） 证明 设，交于 ∵：：=3：4：1 ∴， 对以及截线应用梅涅劳斯定理： 即，化简整理，得，解得 故与分别是和的中点 例2 在中，是中线，在上且，过的直线分别交线段于，交直线于，求证： 证明 对以及截线应用两次梅涅劳斯定理： ∵ ∴……① ……② 而 ∴①+②即得 例3 在平行四边形中，分别是上的点，交于，交于，直线分别交于，求证： 证明 设直线分别交于 对以及截线应用梅涅劳斯定理： ……① 对以及截线应用梅涅劳斯定理： ……② 由于，于是 ，结合①②有 即，于是 又 结合，所以 说明 多次应用梅涅劳斯定理时要有对称的思想 例4 过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和直线交于，求证：三点共线 证明 由梅涅劳斯定理及其逆定理，知 三点共线 而∵是圆的切线 ∴ 从而 同理， 所以，故三点共线 说明 证明点共线问题常用梅涅劳斯定理的逆定理 例5 圆内接六边形中，三组对边与，与，与分别交于，求证：三点共线（帕斯卡定理） 证明 设直线交得，对以及截线应用梅涅劳斯定理：……① ……② ……③ 另一方面，……④ ……⑤ ……⑥ ①×②×③结合④⑤⑥得： 由梅涅劳斯定理的逆定理知三点共线 说明 把题目中的圆换成任意二次曲线（圆， 椭圆，双曲线，抛物线），结论仍然成立 例6 设分别是的边或其延长线上的点，且有奇数个点在延长线上，则共线当且仅当（第一角元形式的梅涅劳斯定理） 证明 由梅涅劳斯定理及其逆定理： 共线 而 ∴ 例7 凸四边形对角线交于点，点分别在上，点在上，点在上，且点四点共线，点四点共线，若，求证： 证明 设，则 对以及截线应用梅涅劳斯定理：……① 对以及截线应用梅涅劳斯定理：……② 由于，①×②得：……③ 对以及截线应用梅涅劳斯定理：……④ 对以及截线应用梅涅劳斯定理：……⑤ ④×⑤得：……⑥ 由于，比较③，⑥式，得： 设，代入，知，即 说明 有时在一条直线上的线段过多时，可分别设其长度为等，用代数方法解决 例8 在中，是边上的点，交于，延长交于，求证：是中点当且仅当 证明 对以及点应用塞瓦定理： 于是 说明 当分别在延长线上时，也有此结论，请读者自行证明 例9 凸四边形中交于，延长线交延长线于，延长线交延长线于，延长线交于，求证： 证明 对以及点应用塞瓦定理得： 对以及截线应用梅涅劳斯定理得： 比较两式即得 例10 在四边形中，对角线平分，在上取一点，与相交于，延长交于，求证：（1999年全国高中数学联赛） 证明 连接交于 对以及点应用塞瓦定理： 由角平分线定理得 于是……① 过作的平行线交延长线于 过作的平行线交延长线于 则 代入①中得 又 因此，从而 例11 在圆内接六边形中，，求证：共点 证明 设与交于，与交于，与交于 则由塞瓦定理：共点 而 同理 三式相乘即得 故共点 例12 在正三角形内任取一点，设点关于三边的对称点分别为，求证：三线共点 证明 设分别交于 由塞瓦定理及其逆定理知三线共点 而 又，从而有 同理，即得证 【习题】 1、在中，点在上，满足，分别在上，满足，，延长交于，求 2、中，为边上的中线，为上一点，且，连接并延长交于，若，求 3、设分别是的边或其延长线上的点，且有奇数个点在边的延长线上，点不在三边所在直线上，则共线的充分必要条件是（第二角元形式的梅涅劳斯定理） 4、已知非等边中，的平分线分别交对边于，的中垂线分别与交于点，求证：三点共线 5、在中，分别是角