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泛函与变分原理导引 Hongxin Zhang 2007-06-14 State Key Lab of CADCG, ZJU 内容提要 变分命题与一般极值问题 泛函的极值问题与欧拉方程，变分法基本定理 自然边界问题 拉格朗日乘子法 变分命题与一般极值问题 历史上有很多有名的极值问题，其求解方法可 统称为变分法 两点间的最短连线问题 最速下降线问题 短程线问题 … 两点间的最短连线问题 为什么“任意两点间的最短连线是连接两端的直线” ？ y y=y (x) O x 两点间的最短连线问题 为什么“任意两点间的最短连线是连接两端的直线” ？ 问题的假设： 二维平面空间，一点是坐标原点(0,0)，一点在(a,b) 两点间的连接曲线是y = y (x) 2 dy ⎛ ⎞ 曲线的弧长微元是 ds2 dx 2 =+dy 2 或 ds 1=+⎜ ⎟ dx dx ⎝ ⎠ 曲线的总弧长是 a 2 1/ 2 s ∫0 (1=+y ) dx s是标量，是y ’(x )的一个广义函数， 称为泛函，可记为s(y ’) 两点间的最短连线问题 问题的数学描述：找出具有曲线y (x)使得 a 2 1/ 2 min ∫0 (1 +y ) dx ′ y 同时必须满足端点约束条件(constraint condition) y (0) 0 x 0 ⎧ ⎨ y (a ) b x a ⎩ 最速降线(brachistochrone)问题 由伯努利于310多年前以公开信的形式提出 问题描述： 设有两点A 、B不在同意铅垂线上，在A 、B两点间 连接一条曲线，有一重物沿去曲线从A 到B受重力作 用自由下滑。若忽略摩擦力，问怎样的曲线使得从 A 到B 的自由下滑时间最短？ o x