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第一节 数学(教育）的研究对象 值得注意的是： 　　　第二节 数学（教育）的特征 一、抽象性 二、严谨性 第三节 数学的地位和作用 问题１：数学被广泛重视的原因是什么？ 问题２：对一切人来说，数学仍将保持为学校课程的核心地位吗？ 答案２：是，数学必需按计划教给所有人 答案３：是，但是必须承认：虽然教给所有人，却不被所有人理解 答案４：是，但是将教给学生以不同的数学， 　　　　或者按学生的能力水平或成绩标准用 　　　　不同的速度教相同的数学。 总结： * * 第 三 章 数 学 观 第三章 数学观 第一节 数学(教育）的研究对象 第二节 数学（教育）的特征 第三节 数学（教育）的地位和作用 数学是什么？ 关于“数学是什么？”的问题，数学家有各种不同的答案，这是一个根本的数学观问题。我们只能从数学的对象、特点、思想方法、思维方式等方面去认识数学的本质。 １、古希腊的毕达哥拉斯学派认为：数是万物的本原，宇宙就是数的和谐体系，而且是整数的和谐体系。数产生万物，数的规律统治万物。 ２、古希腊柏拉图则认为，数学研究的对象尽管是抽象的，但（因属“理念世界”）却是客观存在的，是不依赖于时间、空间和人的思维而永恒存在的。 ３、亚里土多德虽然是柏拉图的学生，但他“吾爱吾师，吾尤爱真理”。他说，数学家在研究之前，先剥去一切可感的质，如轻重、软硬、冷热等，只留下量性和连续性。他认为“数是一种离散的量”，“线是一种连续的量”，数学就是研究存在物的量的科学。 ４、到１９世纪，恩格斯进行了精辟地概括，他说：“纯数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系”。 20世纪的数学发展证明，恩格斯的定义有其不完善之处。20世纪数学研究的对象已从空间形式和数量关系扩大到抽象结构、形式系统和一般关系。而且这些都不是直接的甚至也不是间接的来自现实世界，而是来自数学自身的矛盾运动和发展需求，是“人类悟性的自由创造物”。这就是说，数学研究的对象是形式化了的思想材料。 恩格斯在《反杜林论》中说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实。但是，为了能够从纯粹的状态中研究这些形式和关系，必须使它们完全脱离自己的内容，把内容作为无关重要的东西放在一边……只是在最后才得到悟性的自由创造物和想象物，即虚数。”恩格斯在《自然辩证法》一书中说：“数学——一种研究思想事物（虽然它们是现实的摹写）的抽象的科学。” 进入20世纪之后，面对人类悟性创造的新成果，对数学是什么？数学的对象是什么？又出现了若干不同的观点和学派。 逻辑学派认为，数学是逻辑的一部分，一个分支，逻辑是数学的青年时代，数学是逻辑的成人时代。 直觉主义学派认为数学的对象是人靠智力活动明显地用有限步骤构造出来的实实在在的存在，数学的存在性就是可构造性，数学的进展并非来自逻辑而是来自直觉。 形式主义学派认为数学是一套逻辑上不互相矛盾的有限符号排列的系统。 一次大战之后，２０世纪３０年代，法国兴起了一个著名的甚有影响的布尔巴基学派，认为：数学是以结构为对象的观点，该学派认为有三种基本结构：代数结构、序结构、拓扑结构。 我国数学家丁石孙在研究了各种流行的定义之后提出“数学的研究对象是客观世界的和逻辑可能的数量关系和结构关系”的观点。他认为数学对象有两重性。作为科学理论，数学的研究对象是各种各样的逻辑可能关系；作为一门科学，数学的研究对象则是客观世界。 数学世界是人的创造，但它是客观的，它的内在性质与规律不以人的主观意志为转移。 例如，人们创造了虚数，但虚数服从的数学规律不以人的主观意志为转移，因此，数学家觉得，不是人创造了虚数，而是发现了虚数。再例如，康托和戴特金在建立实数理论的时候，并没有想到实数比自然数多，更未想到一小截线段上的点与全体数轴上的点一样多。有了概念之后，数学家推出性质，构选定理，创造了许多数学对象，这些都不以数学家的意志为转移。 关于数学的特征，至今可以说众口不一，目前最多的看法是三性：抽象性、严谨性和广泛应用性。这是出自苏联《数学的内容方法和意义》。 从内容上 ：数学研究的是?客观事物量的关系,?是形式化的思想材料 . 从方法上 ：数学是逻辑为链条的形式化符号系统，可以说数学成为超越国界的全人类共同的“科学语言”,它甚至被作为与外星人交流的宇宙语言 . 从抽象程度上：数学与其它科学相比，在抽象的程度上更 　　　高，数学具有高度的抽象性。 因为经过多次的抽象， 　　　其内容已远离现实，以至于不仅一般人不是所云，就 　　　是数学专业人员对其不同的数学方向的符号、内容、 　　　方法和结论也难于理解。 这主要表现为：推理的逻辑性，公理化方法和结论的准确确定性。