高二数学数系的扩充与复数的概念练习题及答案-教育城.docVIP

选修2-23.1第1课时数系的扩充与复数的概念 一、选择题 1．下列命题中： ①若a∈R，则 a＋1 i是纯虚数； ②若a，b∈R且a b，则a＋i3 b＋i2； ③若 x2－1 ＋ x2＋3x＋2 i是纯虚数，则实数x＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是 A．①　　　　B．②　　　　C．③　　　　D．④ [答案]　D [分析]　由复数的有关概念逐个判定． [解析]　对于复数a＋bi a，b∈R ，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则 a＋1 i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i，b＋i2＝b－1，复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D. 2． 2010·四川理，1 i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝ A．－1B．1C．－iD．i [答案]　A [解析]　i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1. 3．下列命题中假命题是 A.不是分数 B.i不是无理数 C．－i2是实数 D．若a∈R，则ai是虚数 [答案]　D [解析]　当a＝0时，ai是实数，所以D是假命题，故应选D. 4．对于复数a＋bi a，b∈R ，下列结论正确的是 A．a＝0a＋bi为纯虚数 B．b＝0a＋bi为实数 C．a＋ b－1 i＝3＋2ia＝3，b＝－3 D．－1的平方等于i [答案]　B [解析]　a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数，A错误，B正确．a＋ b－1 i＝3＋2ia＝3，b＝3，C错误． －1 2＝1，D错误．故应选B. 5．若z的实部为lgx2，虚部为lg2x，x是正实数，那么 A．使z的实部、虚部都是正数的x的集合是 1，＋∞ B．使z的虚部为负数的x的集合是 0,1 C．使z的实部和虚部互为相反数的x的集合是 1 D．使z的实部和虚部互为倒数的x的集合是 [答案]　A [解析]　由解得x 1，A正确．故应选A. 6．复数z＝a2－b2＋ a＋|a| i a，b∈R 为实数的充要条件是 A．|a|＝|b|B．a 0且a＝－b C．a 0且a≠bD．a≤0 [答案]　D [解析]　复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，而|a|＝－a，∴a≤0，故应选D. 7．若sin2θ－1＋i cosθ＋1 是纯虚数，则θ的值为 A．2kπ－B．2kπ＋ C．2kπ±D.＋ 以上k∈Z [答案]　B [解析]　由得 k∈Z ∴θ＝2kπ＋.选B. 8．若复数 a2－a－2 ＋ |a－1|－1 i a∈R 不是纯虚数，则 A．a＝－1B．a≠－1且a≠2 C．a≠－1D．a≠2 [答案]　C [解析]　若复数 a2－a－2 ＋ |a－1|－1 i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C. 9．下列命题中哪个是真命题 A．－1的平方根只有一个 B．i是1的四次方程 C．i是－1的立方根 D．i是方程x6－1＝0的根 [答案]　B [解析]　∵ ±i 2＝－1，∴－1的平方根有两个，故A错；∵i3＝－i≠－1.∴i不是－1的立方根；∴C错； ∵i6＝i2＝－1，∴i6－1≠0故i不是方程x6－1＝0的根，故D错； ∵i4＝1，∴i是1的四次方根，故选B. 10．已知关于x的方程x2＋ m＋2i x＋2＋2i＝0 m∈R 有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于 A．3＋iB．3－i C．－3－iD．－3＋i [答案]　B [解析]　由题意知n2＋ m＋2i n＋2＋2i＝0 即，解得. ∴z＝3－i，故应选B. 二、填空题 11．方程 2x2－3x－2 ＋ x2－5x＋6 i＝0的实数解x＝________. [答案]　2 [解析]　方程可化为 解得x＝2. 12．如果z＝a2＋a－2＋ a2－3a＋2 i为纯虚数，那么实数a的值为________． [答案]　－2 [解析]　如果z为纯虚数，需，解之得a＝－2. 13．已知复数z＝－x＋ x2－4x＋3 i 0，则实数x＝________. [答案]　1 [解析]　复数z能与0比较大小，则复数一定是实数，由题意知，解得x＝1. 14．已知复数z1＝m＋ 4＋m i m∈R ，z2＝2cosθ＋ λ＋3cosθ i λ∈R ，若z1＝z2，则λ的取值范围是______． [答案]　[3,5] [解析]　∵z1＝z2，∴ ∴λ＝4－cosθ. 又∵－1≤cosθ≤1，∴3≤4－cosθ≤5，∴λ∈[3,5]． 三、解答题 15．若log2 m2－3m－3 ＋ilog2 m－2 为纯虚数，求实数m的值． [解析]　∵log2 m2－3m－3 ＋ilog2 m－2 为纯虚数，∴ ∴m＝4，故当m＝4时，log2 m2－3m－3 ＋ilog2 m－2 是纯虚数． 16．已