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京大文系数学　２０１４　解答例 ! （30 点） 0° ≤ q 90°とする．x についての 4 次方程式 2 2 x - 2 cosq x - cosq + 1 x + 2 tanq x + 3 0 は虚数解を少なくとも 1 つ持つことを示せ． 《解答》 x2 2 - 2 cosq x - cosq + 1 x + 2 tanq x + 3 0　……… 1 1 から 2 x - 2 cosq x - cosq + 1 0　……… 2 または 2 x + 2 tanq x + 3 0　……… 3 である． 2 ,3 の判別式をそれぞれD ,D とすると， 1 2 D1 cos2 q + cos q - 1 4 D2 tan2 q - 3 1 - 4 4 cos2 q である． 0° ≤ q 90°より 0 cosq ≤ 1 であり 1 i cos q ≤ 1 - 0° ≤ q 60° のとき 2 D 2 0 4 であるから，3 は異なる 2 つの虚数解を持つ． 1 ii 0 cosq ≤ - 60° ≤ q 90° のとき 2 D1 cos q + 1 2 - 5 ≤ 12 - 5 - 1 0 4 a 2 o 4 4 4 であるから，2 は異なる 2 つの虚数解を持つ． 以上， i , ii より，1 は虚数解を少なくとも 1 つ持つ． ■ 京大文系数学　２０１４　解答例 ii 　t - 1 のとき @ （30 点） 3 u であり，S t は図の斜線部分の面積であるから， y 2 3 C t を実数とする．y x - x のグラフ C へ点 P 1 ,t から接線を引く． u 3 2 3 l 1 　接線がちょうど 1 本だけ引けるような t の範囲を求めよ． S t ∫- 2 u x - x - 3u - 1 x + 2u dx - 2u O u 2 2 　t が 1 で求めた範囲を動くとき，P 1 ,t から C へ引いた接線と C で ∫- 2 u x - u x + 2u dx u x P 囲まれた部分の面積を S t とする．S t の取りうる値の範囲を求めよ． 27 u4 4 27 ￥ 81 64 27 《解答》 64 3 C : y x - x ,P 1 ,t 3 2 3 が成り立つ． 1 　f x x - x とすると，f x 3x - 1 より曲線C 上の点 u ,u - u に おける C の接線 l の方程式は 2 3 以上 i , ii より， 求める S t の取りうる値の範囲は y 3u - 1 x - u + u - u 2 3 27 \ y 3u - 1 x - 2u S t ……… （答） 64 である．これが点 P 1 ,t を通るとき， である． 2 3 3 2 t 3u - 1 ? 1 - 2u - 2u + 3u - 1　……… 1 である．題意の接線がちょうど 1 本だけ引けるための条件は u の 3 次方程式 1 がちょうど 1 つだけ実数解を持つことである． 3 2 g u - 2u + 3u - 1 とおくと，t のとりうる値の範囲は，直線 y t と曲 線 y g u がちょうど 1 つだけ共有点を持つための条件として与えられる． 2 g u - 6u + 6u - 6u u - 1 であるから，g u の増減は次のようになる． y u o 0 o 1 o 3 ￠ g u - 0 + 0 - 1 2 g u Q W Q - 1 0 1 O u - 2 よって，求める t の取りうる値の範囲は t - 1 ,0 t　……… （答） -1 である． y g u 2 i 　t 0 のとき 1 u - であり，S t は図の斜線部分の面積であるから， 2 - 2 u y S t ∫u 3u2 - 1 x - 2u3 - x3 - x dx P - 2 u 2 - - + 2 ∫u x u x u dx l 27 4 u 4 u O - 2u x 27 C 64 が成り立つ． 京大文系数学　２０１４　解答例 # （30 点） 座標空間における次の 3 つの直線 l ,m ,n を考える： l は点A 1 ,0 ,- 2 を通り，ベク