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数 学 试 题 考试时间：2013-10-27上午8:30~11:00 命题 :钱靠成 一．填空题 （本大题6小题，每小题6分，共36分。） 1. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 （用数字作答）. 2．方程的实数解的个数为___ 3．设集合，其中是五个不同的正整数，，若中所有元素的和为，则满足条件的集合的个数为 . 4．定义区间，，，的长度均为，其中．已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为__ 5．过四面体的顶点作半径为1的球，该球与四面体的外接球相切于点，且与平面相切．若，，，则四面体的外接球的半径为___. 6. 已知椭圆的左右焦点分别为与，点P在直线l：上. 当取最大值时，比的值为 . 二．解答题 （本大题6小题，7~10题每小题10分，11、12题各12分，共64分） 7．已知正实数满足，且，求的取值范围． 8．已知的外心为，，为的外接圆上且在内部的任意一点，以为直径的圆分别与交于点， 分别与或其延长线交于点，求证三点共线。 9.设轴、轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点、分别满足下列两个条件：①且＝＋；②且＝。 （1）求及的坐标； （2）若四边形的面积是，求的表达式； （3）对于（2）中的，是否存在最小的自然数M，对一切都有＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由． ，所以。由于中有，因此中有。若，则，于是，无正整数解。若，由于，所以，于是。又因为，当时，；当时，，因此满足条件的共有个，分别为。 4..解：原不等式等价于。 当或时，原不等式等价于。设， 则。设的两个根分别为， 则满足的构成的区间为，区间的长度为。 当时，同理可得满足的构成的区间为，区间的长度为。 由韦达定理，，所以满足条件的构成的区间的长度之和为。 5. 过作平面的垂线，垂足为，作，垂足为，，垂足为，则，且有。由于，则，，，因此为半径为的球的直径，从而四面体的外接球的球心在的延长线上，于是有，解得。 6..解由平面几何知，要使最大，则过，P三点的圆必定和直线l相切于P点。设直线l交x轴于A，则，即，即 （1），又由圆幂定理，（2），而，，A，从而有，。代入（1），（2）得。 7.解 令，，则 ． 令 ，则 ，且． 于是． 因为函数在上单调递减，所以． 又，所以． 8.证明 连，与交于点，由于，因此是等腰三角形，所以,，于是可得，从而有在的中垂线上。由于，在的中垂线上，于是有，即三点共线。 9.解：（1） ． （2）， （3） ∴，，，，，等即在数列中，是数列的最大项，所以存在最小的自然数，对一切都有＜M成立． 1 O F2 F1 B A · · y x