课题5等差数列、等比数列性质的灵活运用.docVIP

课题06：等差等比数列性质 高考要求： 等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申。应用等差、等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视。高考中也一直重点考查这部分内容。 考点归纳： 1．一般数列的通项an与前n项和Sn的关系： 2．等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d ，an=ak+(n-k)d ，等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项)。 3．等差数列的前n项和公式： ，等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1，当q≠1时，Sn= ，Sn=。 4．等差、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差、等比数列。 5．等差数列{an}中，若m+n=p+q，则，等比数列{an}中，若m+n=p+q，则 一、创新思维题： 1．设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________. 解：由题意：， ，而的最小值分别为1，2，3；. 2．设数列的前项和为 已知 （）设，证明数列是等比数列 （）求数列的通项公式。 解：（）由及，有 由，．．．① 　则当时，有．．．．．② ②－①得 又，是首项，公比为２的等比数列． （）由（）可得， 　　　数列是首项为，公差为的等数列． 　　　，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足：（）. （1）求数列和的通项公式； （2）若数列{前项和为，问的最小正整数是多少? 解：（1） ,, . 又数列成等比数列， ， ； 公比， ； 又, ； 数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ； )； （2） 由得，满足的最小正整数为. 二、必威体育精装版高考题： 1．（2011湖北卷）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、。 (I) 求数列的通项公式； (II) 数列的前n项和为，求证：数列是等比数列。 解：(I)设成等差数列的三个正数分别为；则； 数列中的、、依次为，则； 得或（舍），于是 (II) 数列的前n项和，即 因此数列是公比为2的等比数列。 2．（2011安徽卷）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设求数列的前项和. 解：（I）设构成等比数列，其中则 ①， ② ①×②并利用 （II）由题意和（I）中计算结果，知 另一方面，利用 得所以 3．（2011江西卷）已知两个等比数列，，满足，，，. （1）若，求数列的通项公式； （2）若数列唯一，求的值. 解：（1）设的公比为，则，， ，由，，成等比数列得， 即，解得， 所以的通项公式或. （2） 设的公比为，则由，得 由得，故方程（*）有两个不同的实根. 由唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得. 三、思维训练题： 1．已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10 （I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列的前n项和．的公差为d，由已知条件可得 解得故数列的通项公式为 （II）设数列，即， 所以，当时， 所以综上，数列 2．已知是以为首项，q为公比的等比数列，为它的前n项和． （Ⅰ）当、、成等差数列时，求q的值； （Ⅱ）当、、成等差数列时，求证：对任意自然数，、、也成等差数列．（Ⅰ），因此，，． 当、、成等差数列时，，化简得．解得． （Ⅱ），则的每项，此时、、成等差数列．，由、、成等差数列，即． 整理得．因此，． 所以，、、也成等差数列．中，，且对任意，成等差数列，其公差为． （Ⅰ）证明成等比数列； （Ⅱ）求数列 的通项公式； 解：（Ⅰ）由题设可知，，，，， ，所以．因此成等比数列． （Ⅱ）由题设可得，． 所以 =．因为，所以． 从而由成等差数列，其公差为得．所以，数列 的通项公式为（或）． 2 - -