斜率判斷同異號區.pdfVIP

第 48 屆中小學科學展覽會 作品說明書 科別：數學科 組別：高中組 作品名稱：斜率判斷同異號區 關鍵詞：斜率 、同異號區 、角平分線 、內心 編號 : 作者人數：學生 4 人 老師 1 人 1 斜率判斷同異號區 摘要 一 、 直 角 坐 標 平 面 中 ， 三 條 直 線 圍 成 一 三 角 形 。 如 果 要 求 此 三 角 形 的 內 心 ， 通 常 我 們 都 會 先 求 出 兩 條 內 角 平 分 線 ， 再 求 出 此 兩 線 的 交 點 ， 而 此 交 點 即 為 內 心 。 二 、 在 求 內 角 平 分 線 的 過 程 中 ， 有 一 個 步 驟 是 要 判 斷 內 角 平 分 線 在 兩 夾 線 的 同 號 區 或 者 是 異 號 區 。 而 這 個 過 程 老 師 通 常 要 在 直 角 坐 標 平 面 上 畫 出 此 三 條 直 線 ， 然 後 再 標 示 直 線 的 兩 側 為 正 號 側 或 是 負 號 側 ， 藉 此 來 判 斷 角 平 分 線 是 位 處 於 同 號 區 或 者 是 異 號 區 。 三 、 如 果 我 們 可 以 不 畫 圖 而 直 接 從 直 線 的 斜 率 來 判 斷 同 異 號 區 的 問 題 ， 那 解 題 過 程 應 該 是 會 變 得 比 較 簡 單 與 輕 鬆 。 壹、研究動機 一 、 一 個 我 們 常 見 的 求 內 心 問 題 ： 求三直線L 1 ：2x + y + 1 = 0 ，L 2 ：x + 2y – 1 = 0 ，L 3 ：2x – y – 7 = 0 所圍三角形之內心坐標。 x + y − x +y + | 2 1| | 2 1| 【解析】：先求L 1 、L 2之角平分線L 4 、 = ( 異號 ) 5 5 ⇒ L 4 ：x + y = 0 ………… ，再求L 2 、L 3的角平分線L 5 | 2x −y −7 | | x +2y −1| = ( 同號 ) ，L 5 ：x – 3y = 6 ………… 5 5 3 3 由 解得 ( x , y ) = ( , – ) 2 2 上 述 問 題 我 們 希 望 可 以 直 接 利 用 斜 率 來 判 斷 同 號 與 異 號 的 問 題 。 2 貳、研究目的 如 果 區 域 的 同 異 號 問 題 能 被 簡 化 ， 我 們 希 望 藉 由 三 直 線 的 聯 立 方 程 式 搭 配 克 拉 瑪 公 式 ( Crame r ’s ru le)而 能 設 計 出 一 種 矩 陣 型 的 演 算 法 直 接 求 出 三 角 形 的 內 心 。 這 是 我 們 未 來 努 力 的 目 標 。 参、研究設備及器材： 紙 、 筆 、 電 腦 肆、研究過程與方法： 一 、 定 義 直 線 L 1 的 方 程 式 為 a x +b y c ， 斜 率 為m 1 ， 1 1 1 直 線 L 2 的 方 程 式 為 a x +b y c ， 斜 率 為m2 ，