的和为随机变量x的数学期望.ppt

可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是 n p. X~B(n,p), 若设 则 X= X1+X2+…+Xn = np i=1,2，…，n 因为 P(Xi =1)= p, P(Xi =0)= 1-p 所以 E(X)= 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数. E(Xi)= = p 例8 一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立) 按题意 本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随 机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求 数学期望的,此方法具有一定的意义. 现在我们已经介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的. 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？ 乙仪器测量结果 甲仪器测量结果 较好 测量结果的均值都是 a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 较好 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心 中心 由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 方差 能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量 来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度. 一、方差的定义 设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2存在 , 称 E[(X-E(X)]2 为 X 的方差. 记为D(X)或Var(X)，即 D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2 概率论 概率论 第四章　随机变量的数字特征 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 . 在这些数字特征中，最常用的是 数学期望、方差、协方差和相关系数 第一节　数学期望 1、概念的引入： 我们来看一个引例. 例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？ 我们先观察小张100天的生产情况 一、离散型随机变量的数学期望 若统计100天, 32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品; 可以得到这100天中 每天的平均废品数为 这个数能否作为 X的平均值呢？ （假定小张每天至多出现三件废品 ） n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品. 可以得到n天中每天的平均废品数为 (假定小张每天至多出三件废品) 一般来说, 若统计n天 , 这是 以频率为权的加权平均 当N很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数X 的平均值时，用概率代替 频率，得平均值为 这是 以概率为权的加权平均 这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X 的平均值 . 定义1 设X是离散型随机变量，它的分布律是: P{X=xk}=pk , k=1,2,… 请注意 :离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.数学期望简称期望，又称为均值。 若级数 绝对收敛， 则称级数 即 的和为随机变量X的数学期望，记为 , 例1 例2 某电子元件使用寿命X~ 使用寿命在500小时以下为废品,产值0元;500到1000小时之间 为次品,产值10元;1000到1500小时之间为二等品,产值30元; 1500小时以上为一等品,产值为40元,求产品的平均产值. 解 设Y表示产值,Y取值为0,10,30,40, P(Y=0)= P(X500