第二章复变函数的积分.ppt-2.ppt

注： 例1 解： 二 无界区域中的柯西积分公式 无界区域的柯西积分公式： 如果 f (z)某一闭曲线L及外部解析, 并且满足 ，则对于曲线L的外部a有 这就是无界区域中的柯西积分公式 [证] 以 原点为中心,以 R 为半径的圆周CR,将L和a全部包含在内，根据复连通区域的柯西积分公式得到 根据条件当 ，即有 。 复连通域上的柯西积分公式 设D是由L , C1, C2 , … , Cn围成的多连通区域，函数f(z) 在 内解析，则对D内任一点 ， 无界区域中的柯西积分公式 无界区域的柯西积分公式： 如果 f (z)沿某一闭曲线L及外部解析, 并且满足 ，则对于曲线L的外部a有 例3　求积分 解： （复连通区域柯西定理） 一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 三 解析函数的高阶导数 解析函数的高阶导数公式： [证] 设z为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即 因此就是要证 因此 现要证当Dz?0时I?0, 而 这就证得了当 Dz?0时, I?0. D z d C f (z)在 上解析, 则有界, 设界为M, 则在C上有| f (z) | ? M. d为 z到C上各点的最短距离, 则取 |Dz| 适当地小使其满足 |Dz| d/2,因此 这就证得了 再利用同样的方法去求极限: 依此类推, 用数学归纳法可以证明: 注：高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分. 例4 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: | z | = r 1. [解] 1) 函数 在C内的z=1处不解析, 但cospz在C内却是处处解析的. 练习 解 1.柯西定理 2.重要公式 1.柯西积分公式 2.高阶导数公式 ------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值. 四 柯西公式的推论 1 平均值公式 如果C是圆周 , 则柯西积分公式： 2 柯西不等式： 证明： 注1：解析函数的导数模的估值与区域的大小有关； 注2： 3 刘维尔定理：全平面的有界解析函数必为常数。 证明：对复平面上任一点z ， 1)“在整个复平面解析且有界的复变函数必是常数”。 由此我们是否可推断：“在整个数轴上解析且有界的实函数一定是常数”？ 2)ez,sinz等不为常数，所以均无界。 4 最大模原理： 证明： 注： 证明： 根据格林公式： 由C-R条件 D l D 1 l A B 2 l 推论2 单连通区域的柯西定理 推论2 例3 解 根据柯西定理得 计算复变函数的环路积分： 首先应判断被积函数有无奇点？ 有何奇点？ 从而选择合适的公式计算。 二 原函数和定积分 现证明 是 的原函数 三 复连通区域的柯西定理 此结论非常重要, 用起来很方便, 因为l不必是圆, a也不必是圆的圆心, 只要a在简单闭曲线l内即可. 例题5 C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。 解： （由闭路变形原理(推论3)） 单连通区域的柯西定理 推论2 复连通区域的柯西定理 在 的解析区域中，积分回路连续变形， 其积分值不变。 推论3 解 依题意知, 例6 打洞! Cauchy定理 重要公式 Cauchy定理 重要 公式 四 小圆弧引理和大圆弧引理 第三节 解析函数的柯西积分公式 若 f (z) 在该闭区域内解析，则 分析： 一 有界区域的柯西积分公式 ---解析函数可用复积分表示。 [证] 由于f (z)在 a连续, 任给e 0, 存在d (e) 0, 当 |z-a|d 时, | f (z)-f (a)| e. 设以 a为中心, R 为半径的圆周K :|z-a|=R全部在闭区域内部, 且R d. l K a R 复连通域上的柯西积分公式 设D是由L , C1, C2 , … , Cn围成的多连通区域，函数f(z) 在 内解析，则对D内任一点 ， D z a R C1 C2