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无须极限新微分法

第 30 卷第 2 期 数学的实践与认识 V o l30 N o 2  2000 年 4 月 M A TH EM A T ICS IN PRA CT ICE AND TH EO R Y A p ril, 2000  其  他 无 须 极 限 新 微 分 法 林 先先 (浙江大学数学系, 杭州 310027) 摘要:  本文摆脱传统的除法, 以括代除, 无须极限也能求出切线, 作出定理 . 由此微积分完全改观. 这是依 A 靠实数有序“无漏”, 建立强无穷小 ( ) , 取代 - , 实质又相互等价, 作出定理 . 由 ( ) 定义无穷小与连 x B x 续, 由连续再作极限更为自然. 聚点是极限的初步, 大可发挥. ( ) 关键词:  满严增; 强 无穷小; “ 箭头条件”; 本身聚点与漏缺聚点 1 基本概念 ( )   实数在数轴上有序“无漏”不象有理数那样“漏洞百出”. 这两基本属性, 大可发挥. 提到邻域决不只孤立的一个, 而是其中取定一个. 为了方便, 函数又叫映射, 也常提定义域与值域. 定义 1 若映射 = ( ) 将区间[ , ] 映满[ , ], 简记 [ , ]= [ , ]. 若 既映满又 y f x a b c d f a b c d f 严增, 称 为满严增. 特别当 = 0= , 采用特殊符号 = ( ) ∶ [ 0, ]= [ 0, ] ( 指最后 f a c y t r1 r2 ) 希腊字母的小写, r1 , r2 指相应半径 , 并称 为从原点出发的一个强无穷小. 当- f 为满严增,f 叫负满严减. ( ) - 1 - 1 ( ) 命题 满严增 减 f 的特征自然一一. 因此必有逆央射f ,f 也是满严增 减 . 特 别从f - 1 的定义域来看, 正提供了检验“满”字是否成立的途径. 注 满严增是区间的一种“橡皮弹性伸缩”, 是种等同关系, 也是本文的核心工具, 由此 ( ) ( ) ( ) 定义后面的 0 与 1 式. 满严增 减 正式学名叫区间的“同胚”. 例 正幂函数 = n ∶[0, 1 ]→[0, 1 ] ( 0) 以及 = 当 ∈[ 0, 4 ], 从逆函数可 y x n y sinx x 知它们在原点都确为强无穷小. 以下为方便采用局部小坐标x = x - x 0 , y = y - y 0 , 又叫增量, 也相当于以(x 0 , y 0 ) 作 为新的原点. 定义 2 区间

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