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作品名稱：平方數簡化公式 摘要：一般進行大的平方數運算時，大都會使用直式乘法運算，這樣簡潔又快速，但是 利用直式乘法運算時，時常會因為數字過多，造成容易算錯，例如計算 (123456)2 ? 時，這種六位數的平方數值運算時 ，如果利用直式乘法運算來慢慢 計算 ，最後累加起來的數字就是答案 ，所以計算一個六位數的平方 ，需要36 次的 乘法運算，假設現在要算一個六位數的平方數，而如果利用這個公式來計算的話， 會變成五位數乘以四位數再加一個你知道的平方數的運算過程，這樣就等於只用 了20 次的乘法運算，再加一個你知道的平方數而免除了 16 次的乘法運算，所以 可以較精確且快速的算出平方數。 壹、研究動機： 某次上數學課時，老師要求我們背一些整數的平方值時，偶然的在計算中發現了一 個平方數的規律 ，而進一步計算時 ，更發現這個規律 ，似乎可以 「公式化」，因此我 們便開始著手研究，希望對平方數的計算速度能有所幫助。 貳、研究目的： 一般進行平方數的運算時，只能用直式乘法來做，但常常因為數字不夠整齊，算式 又多，容易算錯，如果能有較簡潔的運算方式，相信不僅能提高計算興致，也能收 事半功倍之效！ 參、研究設備及器材： 無。 肆、研究過程： 一、發現一個平方數值的規律： 上學期，學到平方根時，老師要我們背 1~30 中的整數平方值， 232 529 242 576 而在背到： 252 625 時， 262 676 272 729 赫然發現： 262 −242 676 −576 100 272 −232 729 −529 200 282 −222 784 −484 300 292 −212 841−441 400 真是太神奇了！怎麼會這樣呢？ 我們就去問老師，老師以乘法公式： 1 (a +b)2 −(a −b)2 4ab 解釋這個結果， 也就是(25 +n)2 −(25 −n)2 4 ×25 ×n 100n 同時也鼓勵我們，繼續尋找是否有其他規則， 我們則決定絞盡腦汁朝怎麼簡化計算平方數值的方向去想。 二、利用 (25 +n)2 −(25 −n)2 4 ×25 ×n 100n 求x 2 之值： 因為在課堂上，我們已經背好1~30 的平方值了， 所以，我們以大於30 的整數來做平方值的計算。 (一) 、計算372 _____ 解：Q37 25 +12 25 −12 13 2 2 2 2 − + − − × ∴37 13 (25 12) (25 12) 100 12 2 2 →37 1200 +13 1200 +169 1369 (二) 、計算432 _____ 解：Q43 25 +18 25 −18 7 2 2 2 2