信号与系统实验报告——连续时间傅立叶变换.docVIP

实验四 连续时间傅立叶变换 连续时间傅立叶变换（CTFT） （4.1） （4.2） 将连续时间傅立叶级数（CTFS）推广到既能对周期连续时间信号，又能对非周期连续时间信号进行频域分析。另外，许多LTI系统的特性行为要比时域容易理解。为了更有效地应用频域方法，重要的是要将信号的时域特性是如何与它的频域特性联系起来的建立直观的认识。本练习就是要对一般的信号帮助建立这一直观性，尤其是在LTI系统的单位冲激响应和频率响应之间建立这一直观性。 §4.1连续时间傅立叶变换的数字近似 目的 将连续时间傅立叶变换进行数字近似，用函数fft（快速傅立叶算法）高效地计算这个近似值。 相关知识 很多信号都能用（4.1））） （4 .3） 对于一般信号，在足够小的τ下，上式右边的和式是对于CTFT积分的一个好的近似。若信号对于和为零，那么这个近似式就能写成 （4.4） 式中，N为一整数。可以利用函数fft对一组离散的频率计算上式中的和式。如果N个样本是存在向量x内的话，那么调用函数X=tau*fft(x)就可以计算出 （4.5） 式中 以及N假设为偶数。为了计算高效，fft在负的频率样本之前先产生正频率样本。为了将频率样本置于上升的顺序，能用函数fftshift。为了将存入X中的的样本排列成使就是对于，在上求得的CTFT,可用 X=fftshift(tau*fft(x))。 本练习要用函数fft和截断的近似的CTFT。将会看到，对于足够小的，对能计算出一个准确的数字近似。 基本题 1．求CTFT的解析表达式。可将看作，。 答： 容易求出F(w)=4/(4+w^2)；相位角为0 2．创建一个向量，它包含了在区间t=[0:tau:T-tau] 上（其中和），信号的样本。 代码： 样本图形： 分析： Tau=0.01，T=10，y(t)=x(t-5)=exp(-2*abs(t-5))，向量t=[0,0.01,9.99]，得到向量 yt，画出yt如上图。 3．键入y=fftshift(tau*fft(y))计算样本。因为对于基本上为零，就能近似用个样本分析中计算出信号的CTFT。 代码： 分析： 直接输入y=fftshift(tau*fft(y))计算样本。对应有1000个值。 4．构造一个频率样本向量w，它按照 w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau)); 与存在向量Y中的值相对应。 代码： 向量w的图形： 分析： 得到的1000个w用图形显示出来如上。 5．因为是通过时移与相联系的，所以CTFT就以线性相移项与相联系。利用频率向量w直接由Y计算的样本，并将结果存入x中。 代码： 分析： 由已有的Y求得X，根据时移特性，X=Y*exp(5jw)。 6．利用abs和angle画出在w标定的频率范围内X的幅值和相位。对于相同的值，也画出在1中所导出的解析式表达式的幅值和相位。CTFT的近似值与解析导得的相符吗?若想在一张对数坐标上画出幅值，可以用semilogy，这是会注意到，在较高的频率上近似不如在较低的频率上好。因为用了样本近似，所以在时间段长度内，信号变化不大的那些信号的频率分量近似程度会更好一些。 代码： 生成图行如下： 分析： 图中第一个和第二个分别为X的幅值和相位，第三个图为在1中所导出的解析式表达式的幅值，在1中所导出的解析式表达式的相位为0，比较第一个和第三个图是几乎一样的，第二个图的相位也是在0左右摆动，非常接近0，所以误差范围内CTFT的近似值与解析导得的相符。 7．利用abs和angle画出Y的幅值和相位，它们与X的图比较后怎样？能估计到这一结果吗？ 代码： 图形： 分析： 与X的图比较后知道他们的幅值谱是一致的，相位谱有区别。根据时移特性可以知道这一结果，时移的结果幅值不变，相位进行相应改变。 §4.2连续时间傅立叶变换性质 目的 这个练习要借助于在频域和时域分析与操作声音信号来加深理解连续时间傅立叶变换CTFT。 相关知识 在MATLAB中声音信号是用含有连续时间声音信号样本的向量表示的，采样率定为8192Hz，也即声音信号是每隔采样一次。更仔细一些，对于一个声音信号，在区间上，以8192Hz采样，代表该声音信号的N个元素向量y由下式给出： 然后，函数sound能用来