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格林公式(P143) 格林公式的应用 举例(补充) 举例(P145) 练习(补充) 练习(补充) 二、补线法 举例 (补充) 第二类曲线积分算法小结 * D 1. 设D为平面区域, 若D内任意闭曲线所围的部分都 否则称D为多连通区域 。 2. 区域 D 边界L 的正向: 3. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, ( 格林公式 ) P(x, y), Q(x, y)在 D 上有一阶连续偏导数, 则有: 一、格林公式 属于D , L ( 有“洞”区域 ) ( 无“洞”区域 ) 沿L走, D在它的左边。 ( 外逆里顺 ) 则称D为单连通区域, 函数 二、格林公式的应用 1. 利用二重积分计算曲线积分 解: 设P=xy, Q=y ; 例1. 计算 I= xydx+ydy, L为y=x2 , x=y2 所围区域边 =0-x=-x, ?Q ?P ——— - ——— ? x ?y I=-??-xd? D D: y=x2 , x=y2所围 3 =———— 20 . 界负向。 (补充) =? xdx ? dy 1 0 x2 =? x( -x2)dx 1 0 x y o 1 D (1,1) y=x2 x=y2 解: 设P=-(x2y+sinx) , Q=(xy2-ey) ; 例2. 求I= -(x2y+sinx)dx+(xy2-ey)dy, L: x2+y2=R2正向. =y2 , ?Q ——— ? x =-x2 , ?P ——— ? y = y2+x2 , ?Q ?P ——— - ——— ? x ?y I=??(y2+x2)d? D D: x2+y2?R2 =? d? ? ?3d? 2? 0 R 0 1 —— 4 =2? R4 ?R4 =———— 2 . I=-??-xd? D =? xdx ? dy 1 0 x2 =? x( -x2)dx 1 0 x y o 1 D (1,1) y=x2 x=y2 解: 设P=2xy , Q=x2 ; 例3. 计算I= 2xydx+x2dy, L为任意分段光滑闭曲线。 因为　　 =0, ?Q ?P ——— - ——— ? x ?y 所以　I=??0d? =0。 D =2x , ?Q ——— ? x =2x , ?P ——— ? y 解: 设P=-(x2y+sinx) , Q=(xy2-ey) ; 例2. 求I= -(x2y+sinx)dx+(xy2-ey)dy, L: x2+y2=R2正向. =y2 , ?Q ——— ? x =-x2 , ?P ——— ? y = y2+x2 , ?Q ?P ——— - ——— ? x ?y I=??(y2+x2)d? D D: x2+y2?R2 =? d? ? ?3d? 2? 0 R 0 ?R4 =———— 2 . 对任意闭曲线L , Pdx +Qdy=0 ? ?Q ?P ——— = ——— ? x ?y 1 —— 4 =2? R4 不过原点的连续正向闭曲线。(P146) L所围区域D , 例6. 计算I= , L为一条无重点, 分段光滑, xdy-ydx ————————— x2+y2 ?Q y2-x2 ?P ——— = ———————— = ——— ? x (x2+y2)2 ?y -y —————— x2+y2 解: 设P= , Q= ; x —————— x2+y2 当 x2+y2?0 时, x y o A 所以 A= ? [bsint asint+acost bcost]dt 1 —— 2 2? 0 = ab? dt 1 —— 2 2? 0 =ab? . 不过原点的连续正向闭曲线。(P146) L所围区域D ,