第二章(函数插值).ppt

* 在应用数值微分公式时，要重视对误差的分析。由插值余项公式（2.9）知 （6.2） 由于式中 是 的未知函数，故 时，无法利用上式误差 作出估计。但是，如果我们限定求某个节点 xi 处的导数值，那么（6.2）右端第二项之值应为零，此时有 * 其中ξ在 之间。该式右端由两部分，即导数的近似值和相应的截断误差组成。 （6.3） 若将它写成带余项的数值微分公式，即 * 由（6.3), 作为特例，当n=1时，插值节点为 ，记 得带余式的两点公式 （6.4） 前一公式的实质是用 在 处的向前差商（分子是向前差分的差商）作为 * 的近似值，后一公式则是用 在 处的向后差商作为 的近似值。 当n=2且节点为 时,由(6.3)可得带余项的三点公式 (6.5) * 中间一个公式的实质是用 在 处的中心差商作为 的近似值，它与前后两公式相比较，其优越性是显然的。 用插值多项式 作为 的近似函数，还可用来建立高阶的的数值微分公式。例如带余式的二阶三点公式 (6.6) * 6.2 利用三次样条插值函数求导 由§5知，对于给定函数表 和适当的边界条件，可以写出三次样条插值公式 ， 并用 近似代替 , 即 * 由于 是一个分段三次多项式，在各子区间 上容易求出导数，故可建立数值微分公式 (6.7) (6.8) * 例3 利用函数 在节点 上的函数值和边界条件 S′(－1)=0.0740, S′(1)=－0.0740 构造三次样条插值公式 ，并用它来计算 和 在下列点xk= －1+0.02k (k=0,1,2, …,100)处的近似值。计算结果如表2-4。 * S(x) S(x) f(x) f(x) -1.00 0.03846 0.074 0.03846 0.07639 -0.92 0.04513 0.09369 0.04513 0.09367 -0.84 0.05365 0.1209 0.05365 0.1209 -0.76 0.06476 0.1594 0.06477 0.1594 -0.68 0.07961 0.2125 0.07962 0.2155 -0.60 0.1000 0.3000 0.1000 0.3000 -0.52 0.1289 0.4319 0.1289 0.4318 -0.44 0.1711 0.6457 0.1712 0.6451 -0.36 0.2359 1.003 0.2358 1.001 -0.28 0.3375 1.579 0.3378 1.598 -0.20 0.5000 2.563 0.5000 2.500 -0.12 0.7372 3.157 0.1353 3.244 -0.04 0.9594 1.885 0.9615 1.849 x 近似值 准确值 表2-4 * 由表2—4可以看出，利用三次样条插值函数 S(x)及其导数来逼近被插值函数f(x)及其导数，其效果是相当好的。 * 小 结 插值法是一个古老而又实用的数值方法。它不仅是数值微分、数值积分、函数逼近以及微分方程数值解等数值分析的基础，而且在许多实际问题中，也有直接的应用。 本章只简要介绍了有关插值法的一些基本概念、多项式插值的基础理论和几个常用的插值方法，例如拉格朗日插值公式 * 、牛顿基本插值公式和仅适用于等距离节点下的牛顿向前（后）插值公式，以及应用最广且有二阶连续导数的三次样条插值。作为一种直接应用，也可介绍了利用插值法求导数的基本原理和常用公式。 实际上，插值法的内容，包括插值函数类的选择，公式的构造与应用，误差的估计，以及收敛性、稳定性的讨论等，都是十分丰富的。需要进一步了解可参考[1]-[2]。