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空间向量及其运算第二课时共线向量与共面向量.ppt
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想一想:
1.共线向量
(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,a平行于b记作a∥b.
(2)共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
(3)推论
如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式OP―→=OA―→+ta.①
其中向量a叫做直线l的方向向量,在l上取AB―→=a,则①式可化为
OP―→=OA―→+tAB―→ 或OP―→=(1-t)OA―→+tOB―→ ②
当t=时,点P是线段AB的中点.
则OP―→=(OA―→+OB―→)③
①或②都叫做空间直线的向量参数表示式.③是线段AB的中点公式,它们都与平面直线的向量参数表示式和线段中点公式相同.
2.共面向量
(1)共面向量的定义
已知平面α与向量a,作OA―→=a,如果直线OA平行于平面α或a在α内,就说向量a平行于平面α,记作a∥α.
平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
(2)三个向量共面的条件
①共面向量定理
如果两个向量a、b不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y,使p=xa+yb.
②推论
空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y,使MP―→=xMA―→+yMB―→ ,或对空间任一定点O,有OP―→=OM―→+xMA―→+yMB―→ .①
在平面MAB内,点P对应的实数对(x,y)是唯一的.①式叫做平面MAB的向量表示式.
做一做:
教师备用:在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AA1―→+AB―→+AD―→与( D )
(A)AB1―→共线 (B)AC―→共线
(C)AB―→+BC―→共线 (D)C1A―→共线
解析:AA1―→+AB―→+AD―→=(AA1―→+AD―→)+AB―→
=(AA1―→+A1D1―→)+D1C1―→=AC1―→.
∵C1A―→与AC1―→共线,
∴选D.
1.对于空间中的三个向量MA―→、MB―→、2MA―→-MB―→,它们一定是( A )
(A)共面向量
(B)共线向量
(C)不共面向量
(D)既不共线又不共面向量
解析:由共面向量定理知应选A.
2.下列说法中正确的是( A )
(A)向量a与非零向量b共线,b与c共线,则a与c共线
(B)任意两个相等向量不一定是共线向量
(C)任意两个共线向量相等
(D)若向量a与b共线,则a=λb(λ>0)
解析:由共线向量、相等向量定义知,应选A.
3.向量a、b不共线,p=ma+nb,则p=0的充要条件是________________________________________________________________________.
解析:∵a、b不共线,∴a、b为非零向量.
要使p=0只有m=n=0.
答案:m=n=0
教师备用:空间任意两个向量a、b一定是( B )
(A)共线向量 (B)共面向量
(C)共线但不一定共面 (D)一定不共线
解析:由共面向量定义知,对空间任意两个向量,它们总是共面的.应选B.
知识要点一:共线向量及共线向量定理的理解与应用
1.空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样,当我们说a,b共线时,表示a,b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线,也可能是平行直线;当我们说a∥b时,也具有同样的意义.
2.“共线”这个概念具有自反性a∥a,也具有对称性,即若a∥b,则b∥a.
(1)0与任一向量a是共线向量.
(2)向量的平行(共线)不具备传递性,即若a∥b,a∥c,不一定有b∥c.但当a为非零向量时,平行(共线)的传递性将成立,即若a≠0,a∥b,a∥c,则b∥c.
(3)在共线向量定理中,b≠0不可去掉,否则实数λ就不唯一.
3.共线向量定理的应用
(1)用共线向量定理证明两直线平行是常用方法,但是要注意,向量平行与直线平行是有区别的,直线平行不包括共线的情况.如果应用共线向量定理判断a,b所在的直线平行,还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上.
(2)用共线向量定理证明三点共线也是常用方法之一,在利用该定理证明(或判断)三点A、B、C共线时,只需证明存在实数λ,使A
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