第一章曲线曲面的数学表示(精简).pptVIP

CAGD概述 Computer Aided Geometric Design(CAGD) 1974年，Barnhill与Riesenfeld首先提出 GAGD的研究对象与核心问题 研究对象：工业产品的几何形状（解析曲面、自由曲面）的数学表示 核心问题：研究适合计算机表示，且满足形状表示与几何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形状数学描述方法。 需要解决的问题：用于工业产品形状数学描述的标准形式，曲线曲面的形状控制，曲线曲面的光滑连接与统一表示 1.2 形状数学描述的发展主线 显式标量函数与隐方程描述曲线曲面 1963年，弗格森将曲线曲面表示为参数的矢函数 1964年，孔斯（Coons）提出由封闭的4条边界构造曲面 1971年，雷诺（Renault）公司Bezier提出由控制多边形定义曲线曲面 1972年，德布尔（de Boor)提出B样条算法，1974年，戈登（Gordon）和里森弗尔德（Riesenfeld)将B样条理论应用于曲线曲面的描述 上世纪80年代后期，Piegl、Tiller、Farin等人将非均匀有理B样条方法用于形状的描述 对于形状数学描述的要求 唯一性　由已给有限信息决定的形状唯一 几何不变性　数学表示与形状不随坐标系的改变而改变 易于定界 统一性　能统一表示各种形状及处理各种情况，如平面与空间曲线，无穷大斜率 易于实现光滑连接 易于实现对形状的控制，不仅要有整体控制的能力，且要有局部控制的能力 第二章　曲线曲面的基本理论 CAGD的数学基础－微分几何 CAGD中矢量、点与直线 矢量具有长度以及方向 服从相等、相加、反向、相减、数乘 分为绝对矢量（点）与相对矢量（矢量与矢量间的相互关系） 固定矢量与变矢量 若变矢量随某一参数或变量而变化，则称其为该变量或参数的矢函数 相对矢量相加减得相对矢量，绝对矢量加或减相对矢量得绝对矢量，绝对矢量相加减则不能判定 两点连线的数学表示 两点之间的线性插值 一般形式 曲线与曲面的参数表示 解析几何的参数表示 微分几何的参数矢函数表示 CAGD的基表示的参数矢函数形式 基函数决定了曲线的整体性质，当基函数确定后，就决定了系数矢量是绝对矢量还是相对矢量，也就决定了所表示曲线的形状。　 矢函数形式曲线方程的物理意义 矢函数形式曲线方程：p=p(u) 点动成线，如果将u视为时间，则p(u)可看作一质点随时间的变化运动的轨迹。其关于u的一阶导矢与二阶导矢分别就是质点的速度矢量和加速度矢量。 有可能质点的运动轨迹即曲线相同，但速度矢量和加速度矢量不同。 曲线与曲面的参数表示 在微分几何里，把曲面表示成双参数u和v的矢函数： 在CAGD里，曲面大都采用基表示的一种特殊矢函数形式： 基表示的矢函数形式的优点 总是能够获取几何不变性 易于界定形状的范围 易于表示空间曲线 易于计算形状上的点 易于处理无穷大斜率 提供对曲线、曲面形状控制的较多的自由度 曲线的表示 给定一个具体的单参数的矢函数，即给定一个具体的参数曲线方程，称之为给定了一个曲线的参数化(parametrization)，它即决定了所表示曲线的形状，也决定了该曲线上的点与其参数域内的点(即参数值)间的一种对应关系。 当曲线取任意参数时，参数域内线段长度之比即不等于曲线上对应线段长度之比，也不等于对应曲线段的弦长之比。仅在曲线取自身弧长的线性函数为参数时，参数域内线段长度之比即才等于曲线上对应线段长度之比。 曲线上的点与参数域上的点一一对应关系不成立的点为奇点，如自交点。 曲线的导矢 曲线的导矢　对曲线各分量分别对参数求导 GADG中曲线的导矢 几何意义　为曲线的切矢，是相对矢量 正则曲线 曲线的弧长公式 自然参数方程　曲线取自身弧长为参数 曲线论的基本公式、曲率与挠率 （Frenet）活动标架 Frenet-Serret公式（基本公式） Frenet活动标架 将曲线在一点处的三个单位矢量用来作为坐标轴方向的基矢量，则在该点处构成一个局部坐标系。当参数连续变化时，该坐标系就连续发生平移和旋转，成为曲线上的一个活动坐标系，称为Frenet活动标架。 有了活动标架，则曲线在任一点处临近的几何行为或几何性质就可以在该点处的活动标架内考察，该点处的任一个矢量就可表示成活动标架上三个基矢量的线性组合。 三个基本矢之间的关系 都是单位矢量 相互垂直 组成的体积为1 曲率与挠率 曲率k的几何意义为曲线的单位切矢对于弧长的转动率，因单位切矢对于弧长的一阶导矢其模长等于曲率，故称为曲率矢，与主法矢同向。 挠率的绝对值等于副法线方向对于弧长的转动率，其大于、等于、小于0分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。 曲线的弧长、曲率、挠率是几何不变量，三个基矢量是几何不变矢，与参数选取无关。 曲面论 公