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上饶师范学院数学与计算机科学学院 本科毕业论文 论文题目：矩阵可对角化的充分必要条件 专 业：数学与应用数学 班级：09数（3） 学号 学生姓名：姜曼 指导教师姓名：龚和林 上饶师范学院数学与计算机科学学院 2013年 04 月 摘 要 在高等代数中，方阵A可对角化当且仅当它可相似于对角矩阵，即存在一个可逆矩阵P,使是对角矩阵。因为对角矩阵的特征值与特征向量是已知的，从而，对矩阵的对角化有积极的意义。本文给出了矩阵四种可对角化的充分必要条件和相应的证明。 关键词 方阵；特征值；特征向量；对角化 目 录 绪论 1 1 矩阵可对角化的概念 2 1.1 2 1.2 矩阵可对角化的概念 2 2 矩阵可对角化的充分必要条件 3 2.1 利用特征向量判断矩阵可否对角化 3 2.2 利用特征根的性质判断矩阵可否对角化…………………………4 2.3 利用最小多项式判定矩阵可否对角化……………………………5 2.4 利用线性变换相关知识判断矩阵可否对角化……………………5 3 矩阵可对角化的应用 …………………………………………………7 结论 10 参考文献 11 致 谢 12  绪论 矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式…… 线性代数中矩阵是否可以对角化,是矩阵的一条很重要的性质。矩阵对角化也是《高等代数》和《线性代数》中矩阵理论这一部分的主要内容。人们对此研究得出了很多有用的结论。诸如一些充要条件：阶方阵可以对角化的充要条件是它有个线性无关的特征向量；方阵可以对角化的充要条件是它的最小多项式没有重根；还有复方阵可以酉相似于对角形矩阵的充要条件是它为正规矩阵，此外,还有一些充分条件。 在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。 1 矩阵可对角化的概念 1.1 特征值、特征向量的概念 定义1：设是数域上线性空间的一个线性变换, 如果对于数域中的一个数存在一个非零向量使得,那么称为的一个特征值，而 称为的属于特征值的一个特征向量。 求方阵的特征值与特征向量的步骤： ：由特征方程=0求得的个特征值，设是的互 异特征值,其重数分别为则。 ：求解齐次线性方程组,其基础解系 ()就是所对应特征值的线性无 关的特征向量。 1.2 矩阵可对角化的概念 定义2：设是矩阵上一个阶方阵，如果存在数域上的一个可逆矩阵,使得为对角形矩阵，那么就说矩阵可以对角化。 任意方阵的每一个特征值都有一个与之相对应的特征向量满足，则这个方程可以写成 , （1） 我们定义矩阵,则（1）式可写成,若矩阵是可逆阵，则有 引理1 设、都是阶矩阵,则有秩 ≥秩+秩 。 引理2 设()为阶方阵的所有互异特征值，则矩阵的线性无关的特征向量的最大个数为。 证明 设()为阶方阵的所有互异特征值，因为特征值相应的线性无关的特征向量的最大个数即为线性方程组的基础解析所含向量的个数，所以特征值 相应的线性无关的特征向量的最大个数分别为，，…，，而矩阵的不同特征值的线性无关的特征向量并在一起仍然线性无关，从而,矩阵线性无关的特征向的最大个数为。 引理3 设为阶方阵,是任意两两互异的数,则。 2 矩阵可对角化的充分必要条件 2.1 利用特征向量判断矩阵可否对角化 方法一：数域上阶方阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。 证明（1）充分性 假设是矩阵的个线性无关的特征向量，即有,令矩阵由特征向量组成，因为是线性无关的，因此矩阵是非奇异矩阵，其逆矩阵记为，根据逆矩阵的定义有=，另一方面，由易知, =,给此式左乘矩阵，则有 =， 即充分性得证。 （2）必要性 令矩阵和对角形矩阵相似，即存在可逆矩阵使得,则有,于是记=()，则可以