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前次课程内容回顾 §2.5 矩阵的秩 二、矩阵秩的求法 例 设n (n大于等于3）阶矩阵， 补充矩阵秩的相关性质 * 2. 利用初等变换求逆阵的步骤是: 1. A可逆的充要条件（两个）； 引言 矩阵的秩是矩阵的较深刻的理论。这部分理论（与 向量组的秩理论一起）是线性代数中较为抽象的内容， 是全书的难点所在，也是考研的重点之一。 定义（k 阶子式） 在矩阵Am×n 中，任取 k 行与 k 列(k≤m,k≤n),位于这 些行列交叉处的 k2 个元素,不改变它们在A 中的位置次序 而得的 k 阶行列式,称为矩阵A的k 阶子式。 例 三阶方阵A有 个1阶子式，有 个2 阶子式， 有 个3 阶子式。 9 9 1 例 计算矩阵 A的各阶子式 解 1 阶子式有（共6个）： 2 阶子式有（共3个）： 注 1. 矩阵Am×n 共有 个 k 阶子式。 2. 矩阵的子式是行列式，而非矩阵。 设在矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所 有 r+1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称 为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵A的秩， 记为 R(A)。 规定：零矩阵的秩等于零。 问：若矩阵的所有r+1阶子式全为零，r+2 阶子式的值 如何？ 定义（矩阵的秩） （皆等于0。） ⑴ R(A)=A中非零子式的最高阶数； 注 由定义立即可得： ⑵ A=O ⑶ R(A)=R(AT )， R(kA)=R(A ) k为非零常数。 ⑷ 设 A为m×n 矩阵, 则 R(A)≤m，R(A)≤n。 设 A 为 n 阶方阵，若 R(A)=n, 则称A为满秩矩阵. R(A)n,称A为降秩矩阵。易知有： 定理6 n 阶方阵 A可逆的充分必要条件是R(A)=n。 例2 解 计算A的3阶子式， 例3 解 称此形式的 矩阵为 行阶梯形。 行阶梯形矩阵的特点是：每个阶梯只有一行,阶梯线后面的元素非零。 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数. 问题：经过初等变换后矩阵的秩改变吗？ 行阶梯形矩阵的秩是很容易确定的，它就是矩阵的非零行数。 注：此定理表明,在初等变换下,秩是矩阵的不变量. 初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 例 (P58例20) 求A的秩， 解 现对A仅作行变换。 称此形式的 矩阵为A的 行阶梯形。 称此形式的 矩阵为A的 行最简形。 由行阶梯形立即可知R(B)=3,从而R(A)=3。 若对行阶梯形继续作行变换，则可得A的行最简形。 行最简形的特点是：每个非零行的第一个非零元素为1, 且这些1所在列的其他元素皆为零. 行最简形矩阵在解线性方程组时有着重要的应用. B 关于矩阵秩的一些最基本关系，归纳如下: 证明： 根据矩阵A、B、以及（A，B）的子式关系，可以很容易说明 从而 下面证明第二个不等式。 设R(A)=r , R(B)=t. 把A和B分别作列变换化 为列阶梯形 和 ，则 和 中分别含有r个 和t个非零列，故可设 ～ c ～ c 于是 c ～ 从而 特别地，当B=b为列向量时，有 证明： c ～ 从而 所以 思 考（参见P63总习题A） 1. 设 A为4×3的矩阵，且A的秩为R(A)= 2， 　 则R(AB)= .　 3. 从矩阵A中增加一列得到矩阵B ，问A，B的秩的关系 如何？ 2 两种情形： 2. 设 4阶方阵A的秩为 2 ，则其伴随矩阵A*的秩为 。 0 结论：如果P,Q可逆，则 引例 求解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程． 2.5.2 线性方程组与系数矩阵的秩 利用矩阵的秩的概念，可以给出齐次线性方程组有非零 解的一个充分必要条件． 下面我们将解方程组时所作的同解变换与系数矩阵 相应的初等变换对照给出． 解 得与原方程组同解的方程组如下: 一般解为: （其中 为自由未知元, 为非自由未知元） 注 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序； （2）以不等于0 的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的 k 倍 　3. 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换． 　4. 因为在上述对方程组的变换