矩阵的对角化.pptVIP

作 业 P92 习题三 3.9 3.10(1，2) 3.11 复习第三章； 预习第四章的1，2节； * * * 第二节 矩阵的对角化 设 A和B为 n 阶矩阵。如果存在n 阶可逆矩阵P， 使得 ，则称A相似于B，或说A和B相似 。 基本性质 （1）反身性 A相似于A。 （2） 对称性 A相似于B，则B相似于A。 （3） 传递性 A相似于B，B相似于C，则A相似于C。 定义 3.3 3.2.1 相似矩阵及其性质 即 证明 定理3.5 若n阶方阵A,B相似，则A,B有相同的特征多项式。 推论 若n阶方阵A,B相似，则 （1）A,B有相同的特征值；（P83定理3.5） （2）A,B有相等的迹；（P84性质3.2） （3）A,B的行列式相等；（P84性质3.2） （4）A,B的秩相等。 推论 如果n阶方阵A相似于对角形矩阵 则 是A的全部特征值。 推广 如果n阶方阵A相似于三角形矩阵 则 是A的全部特征值。 定理3.6 n 阶矩阵A能相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。 充分性 设方阵A的n个线性无关的特征向量 对应的特征值分别为 ，则 3.2.2 矩阵的对角化 必要性 设A相似于对角矩阵 即存在可逆矩阵P，使得 由P可逆便知： 都是非零向量，因而都是A的特征向量，且 线性无关。 推论3.2 如果n阶方阵A有n个不同的特征值 则方阵A相似于对角矩阵 定理3.7 n 阶 矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个 重特征值 ,对应着 个线性无关的特征向量. 例 用相似变换化矩阵　　　　　　　　　为对角形 解 A的特征方程为 得特征值为 对于 可求得特征向量 对于 可求得线性无关的特征向量 令　　 则　 且　　 课堂思考：判断下列矩阵是否相似 A与B不相似；C与D相似。 ●利用对角化计算方阵的幂 例　设 解　　 A的特征方程为 特征值为 对应的特征向量为 对应的特征向量为 解齐次方程组　　 解方程组　　　　　　　 令　　 则有　　 因此　 认识几个特殊矩阵 对称矩阵 如果方阵A满足 就称A为对称矩阵 例如 方阵A为对称矩阵 矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等 性质 (1) 实对称矩阵的特征值全为实数。 (2) 实对称矩阵一定可对角化。 定义 设 A 为 n 阶方阵, 若 则称 A 为反对称矩阵 性质 (1) 实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数. (2) 奇数阶反对称阵对应的行列式为0. (3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵. 反对称矩阵 方阵A为反对称矩阵 定义 设 A 为 n 阶方阵, 若满足 则称 A 为幂等矩阵. 性质 (1) 幂等矩阵的特征值为0或1. (2) 幂等矩阵一定相似于形如 的对称阵. 幂等矩阵 幂零矩阵 定义 设 A 为 n 阶方阵, 若满足 (ｍ为正整数），则称 Ａ为幂零矩阵． 性质 (1) 幂零矩阵的特征值为0. (2) 非零的幂零矩阵不相似于对角矩阵. 例1 若 的特征方程有一个二重根，求 的值，并讨论 是否可对角化. 解 对应有两个线性无关的特征向量， 可对角化. 从而 的秩为1，故 矩阵 (1) 如果 是特征方程的二重根，则 满足方程 故 当 时， 的特征值为2，2，6， (2) 如果 不是特征方程的二重根，则方程 为完全平方，从而 此时 的特征值为2，4，4， 对应线性无关的特征向量只有一个， 的秩为2，故 矩阵 不可对角化. 从而 例2 已知三阶方阵 可对角化，试求 ；(2) ；(3) ． (1)实数 解 (1) 因为 为三阶方阵，且 可对角化，则 必定有3个线性无关的特征向量. 为 的二重特征值， 得 . ， 由于 必有2个线性无关的特征向量， 所以对应于 从而 解方程组 ，得对应于 的1个线性无关的特征向量 令 及 ，则有 从而 (2) 解方程组 ，得对应于 线性无关的特征向量 的2个 (3)