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矩阵的对角化.ppt

作 业 P92 习题三 3.9 3.10(1,2) 3.11 复习第三章; 预习第四章的1,2节; * * * 第二节 矩阵的对角化 设 A和B为 n 阶矩阵。如果存在n 阶可逆矩阵P, 使得 ,则称A相似于B,或说A和B相似 。 基本性质 (1)反身性 A相似于A。 (2) 对称性 A相似于B,则B相似于A。 (3) 传递性 A相似于B,B相似于C,则A相似于C。 定义 3.3 3.2.1 相似矩阵及其性质 即 证明 定理3.5 若n阶方阵A,B相似,则A,B有相同的特征多项式。 推论 若n阶方阵A,B相似,则 (1)A,B有相同的特征值;(P83定理3.5) (2)A,B有相等的迹;(P84性质3.2) (3)A,B的行列式相等;(P84性质3.2) (4)A,B的秩相等。 推论 如果n阶方阵A相似于对角形矩阵 则 是A的全部特征值。 推广 如果n阶方阵A相似于三角形矩阵 则 是A的全部特征值。 定理3.6 n 阶矩阵A能相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。 充分性 设方阵A的n个线性无关的特征向量 对应的特征值分别为 ,则 3.2.2 矩阵的对角化 必要性 设A相似于对角矩阵 即存在可逆矩阵P,使得 由P可逆便知: 都是非零向量,因而都是A的特征向量,且 线性无关。 推论3.2 如果n阶方阵A有n个不同的特征值 则方阵A相似于对角矩阵 定理3.7 n 阶 矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个 重特征值 ,对应着 个线性无关的特征向量. 例 用相似变换化矩阵         为对角形 解 A的特征方程为 得特征值为 对于 可求得特征向量 对于 可求得线性无关的特征向量 令   则  且   课堂思考:判断下列矩阵是否相似 A与B不相似;C与D相似。 ●利用对角化计算方阵的幂 例 设 解   A的特征方程为 特征值为 对应的特征向量为 对应的特征向量为 解齐次方程组   解方程组        令   则有   因此  认识几个特殊矩阵 对称矩阵 如果方阵A满足 就称A为对称矩阵 例如 方阵A为对称矩阵 矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等 性质 (1) 实对称矩阵的特征值全为实数。 (2) 实对称矩阵一定可对角化。 定义 设 A 为 n 阶方阵, 若 则称 A 为反对称矩阵 性质 (1) 实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数. (2) 奇数阶反对称阵对应的行列式为0. (3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵. 反对称矩阵 方阵A为反对称矩阵 定义 设 A 为 n 阶方阵, 若满足 则称 A 为幂等矩阵. 性质 (1) 幂等矩阵的特征值为0或1. (2) 幂等矩阵一定相似于形如 的对称阵. 幂等矩阵 幂零矩阵 定义 设 A 为 n 阶方阵, 若满足 (m为正整数),则称 A为幂零矩阵. 性质 (1) 幂零矩阵的特征值为0. (2) 非零的幂零矩阵不相似于对角矩阵. 例1 若 的特征方程有一个二重根,求 的值,并讨论 是否可对角化. 解 对应有两个线性无关的特征向量, 可对角化. 从而 的秩为1,故 矩阵 (1) 如果 是特征方程的二重根,则 满足方程 故 当 时, 的特征值为2,2,6, (2) 如果 不是特征方程的二重根,则方程 为完全平方,从而 此时 的特征值为2,4,4, 对应线性无关的特征向量只有一个, 的秩为2,故 矩阵 不可对角化. 从而 例2 已知三阶方阵 可对角化,试求 ;(2) ;(3) . (1)实数 解 (1) 因为 为三阶方阵,且 可对角化,则 必定有3个线性无关的特征向量. 为 的二重特征值, 得 . , 由于 必有2个线性无关的特征向量, 所以对应于 从而 解方程组 ,得对应于 的1个线性无关的特征向量 令 及 ,则有 从而 (2) 解方程组 ,得对应于 线性无关的特征向量 的2个 (3)

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