离散数学 作者 赵一鸣 阚海斌 吴永辉 dshu6n.pptVIP

五 、商群 设[H;?]是群[G;?]的子群，对任意a,b?G，a和b关于模H同余当且仅当a?b-1?H，记为a?b(mod H)。 [a]={x|x?G,且x?a(mod H)}= {x|x?G,且 x?a-1 ?H}, Ha=[a]={h?a|h?H} 设“~”为S上的等价关系，“*” 为S上的二元运算。 若对任意a,b,c,d?S ，当a~b,c~d时，必有a?c~b?d，则称等价关系~与运算? 是相容的，称~为代数系统[S;?]的相容等价关系。 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： [H1 ,?]为三次对称群[S3 ,?]上的子群, H1={e,?1}, “~”为模H1同余关系 则?2~ ?4, ?3~ ?5, 但?2??3与?4??5不是模H1同余的 该等价关系关于运算?是不相容的 事实上主要是因为[H1 ,?]不是正规子群 引理(一)：[H;?]是群[G;?]的正规子群，定义关系~如下：对任意a,b?G，a~b当且仅当a?b-1?H。则“~”关于?为相容等价关系。 分析:关键是证明对任意a,b,c,d?G,若a~b, c~d,必成立a?c~b?d. 就是要证明 (a?c)?(b?d)-1?H 应利用a?b-1?H和c?d-1?H 特别还要用到正规子群这个条件 定义13.16:把“~”下的等价类全体构成的集合，即子群H的所有右陪集全体构成的集合，称为商集，记为G/H。 在相容条件下，我们定义?如下： 对任意[g1]=Hg1,[g2]=Hg2?G/H, Hg1?Hg2=H(g1*g2) 引理13.3: [H;?]是群[G;?]的正规子群，则?是G/H上的运算。 对任意[a],[b]??, [a]?[b]=[a?b]，则由~关于?的相容性，保证运算?的结果与等价类的选取无关。 引理13.4：[H;?]是群[G;?]的正规子群，则[G/H;?]是群。 证明:结合律 单位元:设e为群[G;?],则He=H?G/H为 [G/H;?]的单位元 逆元:对任意Ha?G/H,有逆元Ha-1?G/H 关于H的商群 定义13.17:[G;*]为群,[H;*]为其正规子群, G/H为G关于H的商集合,?为G/H上关于陪集的运算, 则 [G/H;?]是群,称为G关于H的商群。 在G是有限阶的群时,G/H的阶必有限, 且等于正规子群H在G中的指数,即|G|/|H|。 §4 群的同态与同态基本定理 一、群同态 设有两个代数系统[S;*]与[T;?], 如果存在到上映射?:S?T,使得对任意的a,b?S,有:?(a*b)=?(a)??(b)，称[S;*]与[T;?]两 个系统同态。如果?是双射,则[S;*]与 [T;?]同构。 例(Cayley(凯莱)定理)：任一有限群必同构于一个同阶的置换群。 证明:设[G;?]为有限群. 若[G;?]是置换群, 则[G;?]与自己当然同构. 下面考虑[G;?]不是置换群,那么就应构造与[G;?]有一定联系的置换群,使得它们同构. 对任意g?G,定义映射?g:G?G,使得对任意g?G,有?g(g) =g?g。设?={?g|g?G} 则由例13.13知[?;?]是置换群。 下面证明G与[?;?]同构 构造G??的同构映射:?(g)=?g 二、群同态基本定理 1.同态核与同态象 在群G中，a,b?G,若ab=a，则b=e(单位元) ab=a=ae，由消去律可得b=e。 引理：[G;*]和[G;?]为群, ?为G?G的同态映射(不一定满射),则?(e)一定是[G;?]的单位元. 证明:因为?(G)??,设x??(G)?G, 存在a?G,使得x=?(a) 因为x??(e)=x=x?eG, 利用群满足消去律即得?(e)=eG. 该结论对不是群的代数系统不一定成立. 定义13.18: ?为群G?G的同态映射,e,e分别为G,G之单位元。集合K={x?G| ?(x)=e},称K为同态映射?的核,又称同态核, 记为Ker?, 简记为K(?)。 K??,这是因为?(e)=e,即e?K. 例:[R-{0};*]和[{-1,1};*]为群 定理：?为群[G;*]?[G;?]的同态映射,则 (1)[Ker?; *]为[G;*]的正规子群。 (2)?为一对一当且仅当K={eG} (3)[?(G); ?]为[G;?]的子群。 证明:(1)先证明Ker?是子群 封闭:对任意a,b?Ker?,有a*b??Ker?, 即证?(a*b)=?eG 逆元:对任意a?Ker?,它在G中的逆元,a-1?? Ker? 然后证明对任意g?G,a?Ker?有 g-1*a*g??Ker?