离散数学 作者 赵一鸣 阚海斌 吴永辉 dshu12n.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 定义14.15：设[I;+,*]为环[R;+,*]的理想, 称[R/I;?,?]为环[R;+,*]关于理想I的商环, 简记为R/I或R-I。 设[F[x];+,*]是域F上的多项式环, p(x)?F(x), 且degp(x)=n0,则(p(x))={p(x)*h(x)|h(x)? F(x)}是多项式环的理想. [F[x]/(p(x));?,?]是商环,其零元(?的单位元)是(p(x))+0, 其单位元是(p(x))+1,这里0是F[x]的零元,1是F[x]的单位元. 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： F[x]/(p(x))= [Z2[x];+,*]是Z2上的多项式环。取p(x)= x2+x+1,则:Z2[x]/(p(x))={(p(x)), (p(x))+1, (p(x))+x,(p(x))+(x+1)},简化为{0,1,x,x+1} 定理14.17:F[x]为域F上的多项式环, 商环F[x]/(p(x))是域, 当且仅当p(x)为F[x]上的不可约多项式。 证明:(1)商环F[x]/(p(x))是域,证明p(x)为不可约多项式 反证,若p(x)可约,则存在h(x), g(x)?F(x), 且0degh(x),degg(x)degp(x), 使得p(x)=h(x)*g(x) 因此h(x),g(x)?(p(x)),即 (p(x))+h(x)和(p(x))+g(x)都不是F[x]/(p(x))的零元.但 ((p(x))+h(x))?((p(x))+g(x))=(p(x))+h(x)g(x) =(p(x))+p(x)=(p(x))为F[x]/(p(x))的零元 而F[x]/(p(x))是域,无零因子. (2) p(x)为F[x]上的不可约多项式,证明商环F[x]/(p(x))是域 首先可以知道F[x]/(p(x))是交换环.且有单位元(p(x))+1. 关键是考虑F[x]/(p(x)) 中每个非零元是否都存在逆元. 对F[x]/(p(x))中任意非零元(p(x))+r(x),其中degr(x)degp(x), 利用p(x)不可约,可得(p(x),r(x))=a?F*. 由定理14.9(2),存在s(x),t(x)?F(x),使得 p(x)s(x)+r(x)t(x)=a 因此(p(x))+a-1t(x)是(p(x))+r(x)的逆元 推论14.4:Zp=Z/(p)为域当且仅当p为素数 例:讨论商环Z3[x]/(x4+1)是否为域。 x4+1=(x2+2x+2)(x2+x+2), 所以Z3[x]/(x4+1)不是域 Z3[x]/(x2+1) x2+1在Z3上不可约, Z3[x]/(x2+1)为域 Z3[x]/(x2+1) ={ax+b|a,b?Z3} 共有9个元素 省略了(x2+1)。 常以这种简化的方式写商域中的元素 各非零元素的逆。 多项式关于某个不可约多项式模的逆的计算 x8+x4+x3+x+1是Z2上的不可约多项式。 Z2[x]/(x8+x4+x3+x+1)是域。 x6+x4+x2+x+1,x7+x+1?Z2[x]/(x8+x4+x3+x+1) (x6+x4+x2+x+1)?(x7+x+1)mod(x8+x4+x3+x+1) =x7+x6+1 (x6+x4+x2+x+1)?Z2[x]/(x8+x4+x3+x+1) 其逆元是x7+x5+x4+x3+x2+x+1 方法：利用1=s(x)f(x)+t(x)g(x) 即1=s(x)(x6+x4+x2+x+1)+t(x)(x8+x4+x3+x+1) 实质是求s(x) 利用辗转相除法 x8+x4+x3+x+1=(x2+1)(x6+x4+x2+x+1)+x4 x6+x4+x2+x+1=(x2+1)x4+x2+x+1 x4=(x2+x)(x2+x+1)+x x2+x+1=(x+1)x+1 故1=(x2+x+1)-(x+1)x =(x2+x+1)-(x+1)(x4-(x2+x)(x2+x+1)) =(1+(x+1)(x2+x))(x2+x+1)+(x+1)x4 =(1+(x+1)(x2+x))((x6+x4+x2+x+1)-(x2+1)x4) +(x+1)x4 =(x3+x+1)(x6+x4+x2+x+1)+((x3+x+1)(x2+1) +(x+1))x4 =(x3+x+1)(x6+x4+x2+x+1)+(x5+x2)((x8+x4+x3+x+1)-(x2+1)(x6+x4+x2+x+1)) =((x3+x+1)+(x5+x2)(x2+1))(x6+x4+x2+x+1)+ (x5+