应用微积分(下册) 教学课件 刘春凤应用微积分 第9章 9.4.pdfVIP

主讲教师： 第 9 章 常微分方程 概念反思 理论回味 经典探究 方法纵横 前景展望 1 二阶齐次线性微分方程解的结构 2 二阶非齐次线性微分方程解的结构 4 二阶线性微分方程 当f (x ) 0时，二阶线性齐次微分方程 当f (x ) 0时，二阶线性非齐次微分方程 定理 9.1 若函数 是二阶线性齐次方程 的两个解, 为任意常数） 也是该方程的解. (叠加原理) 证 代入方程左边, 得 证毕 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 则 也是齐次方程的解 但是 并不是通解 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 定义9.6 线性相关 存在不全为 0 的 使 ( 无妨设 线性无关 常数 容易看出x 3x 线性相关， e x e 3 x 线性无关 定理 9.2 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, 则 数) 是该方程的通解. ( 自证) 例如, 方程 有特解 且 常数, 故方程的通解为 例9.18 已知方程y 4xy (4x 2 2)y 0的两个特解为 2 2 y e x , y xe x 求满足条件y 0, y  2的特解。 1 2 ， x 0 x 0 解 因为y 2 x ，则y ，y 线性无关， 1 2 y 1 2 2 该方程的通解为y C e x C xe x 1 2 代入初始条件得 C1 0，C2 2 2 y 2xe x 原方程的特解为 定理 9.3 设 是二阶非齐次方程