微分方程（数学建模）.ppt

SARS传播的数学模型 题目 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型. 微分方程模型 基本假设 假设SARS的传播方式为接触性传播，不与患病者接触就不会被传染 假设人们被感染后需先进入潜伏期，在潜伏期内不具备传染性 假设SARS患者被发现后就立即被隔离，被隔离者不具备传染性，SARS患者只在被发现前可以传染他人 假设SARS康复者不会被再次感染，并且不具备传染性 不考虑在SARS传播期间人口的自然出生和自然死亡 所研究地区的人口总量一定，不考虑该段时间内人口的迁入迁出 符号说明 N – 我们所研究区域的人口总数 S – 易感染类，该类成员没有染上SARS，也没有免疫能力，可以被传染上SARS E – 潜伏期类，该类成员已经感染了SARS病毒，但尚处于潜伏期内，还不是SARS患者，不能把病毒传染给S类成员 Iu – 患病未被发现类，该类成员已经成为真正的SARS患者，能够把病毒传染给S类成员 Ii – 患病已被发现类，该类成员虽然是SARS患者，但由于发现后立即被严格隔离，不能传染给S类成员 符号说明（续） R – 免疫类，该类成员为SARS康复者或因患SARS死亡，已经具有免疫力，不再对其它成员产生任何影响 H – 潜伏期天数 L – 传染期天数 模型建立 我们把一个封闭区域内的人群完备的分成5类：S类、E类、Iu类、Ii类和R类，设第t天时五类成员的人数分别为S t 、E t 、Iu t 、Ii t 、R t ，该地区总人口为N。 参数设置及其意义 参数设置及其意义（续） 微分方程 模型求解 我们调用Matlab软件中的ode45函数进行求解 ode45函数： 专门用于解常微分方程的功能函数，有ode23, ode45,ode23S等，主要采用Runge-Kutta方法，其中ode23采用两阶、三阶Runge-Kutta法解，适合要求精度较低的场合，ode45采用四阶、五阶Runge-Kutta法解。一般说来，ode45比ode23的积分段少，运算速度更快一些。 求解过程 以香港数据为例，N 6.7e6 取初值Iu 0 1， S 0 N-1，E 0 Ii 0 R 0 0 初始数据c 0.014，H 10， 2e-5，z 0.5 解出的图像 钟南山研究成果 九成多非典病人可不药而愈 2003年09月14日12:00 人民网-江南时报 　　广州9月13日电中国工程院院士、中国著名呼吸疾病专家钟南山12日在“2003防治‘非典’（广州）学术研讨会”上表示，90％的非典病人是“自限性”的，只要好好休息，就可以自己康复。他称，93％的病人自己能完全好转。因此，感染非典，首先是支持疗法，而不是特效药 如果不存在自愈 * 数学建模与数学实验 微 分 方 程 实验目的 实验内容 2、学会用Matlab求微分方程的数值解. 1、学会用Matlab求简单微分方程的解析解. 1、求简单微分方程的解析解. 4、实验作业. 2、求微分方程的数值解. 3、 数学建模实例 求微分方程的数值解 （一）常微分方程数值解的定义 （二）建立数值解法的一些途径 （三）用Matlab软件求常微分方程的数值解 返 回 1、目标跟踪问题一：SARS 2、目标跟踪问题二：慢跑者与狗 3、地中海鲨鱼问题 返 回 数学建模实例 微分方程的解析解 求微分方程（组）的解析解命令: dsolve ‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’ 结 果：u tg t-c 解 输入命令: y dsolve D2y+4*Dy+29*y 0,y 0 0,Dy 0 15,x 结 果 为 : y 3e-2xsin（5x） 解 输入命令 ： [x,y,z] dsolve Dx 2*x-3*y+3*z,Dy 4*x-5*y+3*z,Dz 4*x-4*y+2*z, t ; x simple x % 将x化简 y simple y z simple z 结 果 为：x c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t e2t y -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3 e2t z -c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3 e2t 返 回 微分方程的数值解 （一）常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很