高考数学二轮复习 专题检测46 不等式选讲.docVIP

46　不等式选讲 1．(2014·重庆改编)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围． 解　设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝当x－2时，y＝－3x－15； 当－2≤x时，y＝－x＋3；当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围为[－1，]． 2．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3. (1)当a＝－2时，求不等式f(x)g(x)的解集； (2)设a－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围． 解　(1)当a＝－2时，不等式f(x)g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－30. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3， 则y＝ 其图象如图所示，由图象可知， 当且仅当x∈(0,2)时，y0， ∴原不等式的解集是{x|0x2}． (2)∵a－1，则－， ∴f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a| ＝ 当x∈时，f(x)＝a＋1， 即a＋1≤x＋3在x∈上恒成立． ∴a＋1≤－＋3，即a≤， ∴a的取值范围为. 3．(2013·福建)设不等式|x－2|a(a∈N*)的解集为A，且∈A，?A， (1)求a的值； (2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值． 解　(1)因为∈A，且?A， 所以a，且≥a， 解得a≤.又因为a∈N*，所以a＝1. (2)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， 当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号， 所以f(x)的最小值为3. 4．(2014·课标全国Ⅰ)若a0，b0，且＋＝. (1)求a3＋b3的最小值； (2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由． 解　(1)由＝＋≥，得ab≥2， 且当a＝b＝时等号成立． 故a3＋b3≥2≥4， 且当a＝b＝时等号成立． 所以a3＋b3的最小值为4. (2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4. 由于46，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6. 5．设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值． 解　(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2. 由此可得x≥3或x≤－1. 故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}． (2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0. 此不等式化为不等式组 或 即或 因为a0，所以不等式组的解集为{x|x≤－}． 由题设可得－＝－1，故a＝2. 6．若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值． 解　由柯西不等式(32＋42)·(x2＋y2)≥(3x＋4y)2，① 得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥. 不等式①中当且仅当＝时等号成立，x2＋y2取得最小值， 由方程组解得 因此当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为. 7．(2013·课标全国Ⅱ)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明： (1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1. 证明　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤. (2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1. 8．(2014·课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝＋|x－a|(a0)． (1)证明：f(x)≥2； (2)若f(3)5，求a的取值范围． (1)证明　由a0，有f(x)＝＋|x－a|≥ ＝＋a≥2. 所以f(x)≥2. (2)解　f(3)＝＋|3－a|. 当a3时，f(3)＝a＋， 由f(3)5，得3a. 当0a≤3时，f(3)＝6－a＋， 由f(3)5，得a≤3. 综上，a的取值范围是(，)． 9．已知a2＋2b2＋3c2＝6，若存在实数a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c|x＋1|成立，求实数x的取值范围． 解　由柯西不等式知 [12＋()2＋()2][a2＋(b)2＋(c)2] ≥(1·a＋·b＋·c)2 即6×(a2＋2b2＋3c2)≥ (a＋2b＋3c)2 又∵a2＋2b2＋3c2＝6， ∴6×6≥(a＋2b＋3c)2， ∴－6≤a＋2b＋3c≤6， ∵存在实数a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c|x＋1|成立． ∴|x＋1|6，∴－7x5. ∴x