高考数学二轮复习 专题检测8 函数性质在运用中的巧思妙解.docVIP

8　函数性质在运用中的巧思妙解 1．已知函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－a，则f(log3)＝________. 答案　 解析　由题意，可知函数f(x)为奇函数， 所以f(0)＝－a＝0， 解得a＝，所以当x≥0时， f(x)＝－. 所以f(log32)＝－ ＝－＝－. 从而f(log3)＝f(－log32) ＝－f(log32)＝. 2．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)＝________. 答案　337 解析　∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6. ∵当－3≤x－1时，f(x)＝－(x＋2)2， 当－1≤x3时，f(x)＝x， ∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1， f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1， f(6)＝f(0)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12) ＝…＝f(2 005)＋f(2 006)＋…＋f(2 010)＝1， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＝1×＝335. 而f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013) ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝335＋2＝337. 3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈[－2－，2＋]，不等式f(x＋t)≤2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是________． 答案　(－∞，－] 解析　设x0，则－x0. f(－x)＝(－x)2， 又∵f(x)是奇函数， ∴f(x)＝－x2. ∴f(x)在R上为增函数，且2f(x)＝f(x)． ∴f(x＋t)≤2f(x)＝f(x)?x＋t≤x在[－2－，2＋]上恒成立， ∵x＋t≤x?(－1)x≥t， 要使原不等式恒成立，只需(－1)(－2－)≥t ?t≤－即可． 4．(2013·天津改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是________． 答案　 解析　由题意知a0，又loga＝log2a－1＝－log2a. ∵f(x)是R上的偶函数， ∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(loga)， ∵f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)， ∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)． 又∵f(x)在[0，＋∞)上递增， ∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1， ∴a∈. 5．函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)0成立，若a＝20.2·f(20.2)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝(log)·f(log)，则a，b，c的大小关系是________． 答案　bac 解析　因为函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称， 所以y＝f(x)关于y轴对称． 所以函数y＝xf(x)为奇函数． 因为[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)， 所以当x∈(－∞，0)时，[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)0， 函数y＝xf(x)单调递减， 从而当x∈(0，＋∞)时，函数y＝xf(x)单调递减． 因为120.22,0ln 21，log＝2， 从而0ln 220.2log， 所以bac. 6．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件： ①对于任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)； ②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f(x1)＜f(x2)； ③函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称． 则f(4.5)，f(6.5)，f(7)的大小关系是______________． 答案　f(4.5)＜f(7)＜f(6.5) 解析　由已知得f(x)是以4为周期且关于直线x＝2对称的函数． 所以f(4.5)＝f(4＋)＝f()， f(7)＝f(4＋3)＝f(3)， f(6.5)＝f(4＋)＝f()． 又f(x)在[0,2]上为增函数． 所以作出其在[0,4]上的图象知 f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)． 7．已知函数f(x)是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log8(x＋1)，则f(－2 013)＋f(2 014)的值为________． 答案　 解析　当x≥0时，有f(x＋2)＝－f(x)， 故f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)． 由函数f(x)在R上为偶函数， 可得f(－2 0