高考数学二轮复习 专题整合 2-3 平面向量的线性运算及综合应用 理（含必威体育精装版原创题，含解析）.docVIP

第3讲　平面向量的线性运算及综合应用 一、填空题 1．(2014·重庆卷改编)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)c，则实数k＝________. 解析　　因为2a－3b＝(2k－3，－6)，且(2a－3b)c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3. 答案　3 2．(2014·河南十所名校联考)在ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若＝－2＋λ，则λ＝________. 解析　　由点A，B，M三点共线知：－2＋λ＝1，所以λ＝3. 答案　3 3．(2014·龙岩期末考试)在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O(0,0)，A(1,1)，且·＝1，则·＝________. 解析　　依题意，||＝||＝||＝，·＝||||cos AOC＝1，cos AOC＝，AOC＝，则||＝||＝||＝，BAC＝，·＝||||cos BAC＝1. 答案　1 4．(2013·天一、淮阴、海门中学联考)在ABC中，已知·＝4，·＝－12，则||＝________. 解析　　将·＝4，·＝－12两式相减得·(－)＝2＝16，则||＝4. 答案　4 5．(2014·山东卷)在ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，ABC的面积为________． 解析　　由A＝，·＝tan A， 得||·||·cos A＝tan A， 即||·||×＝，||·||＝， S△ABC＝||·||·sin A＝××＝. 答案　 6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a与b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，则向量a与c的夹角为________． 解析　　因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)．所以|c|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cos 60°＝3.所以|c|＝. 又c·a＝－(a＋b)·a＝－a2－a·b＝－1－cos 60°＝ －，设向量c与a的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°. 答案　150° 7.如图，在ABC中，C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2 ，则·＝________. 解析　　法一　　如图建立平面直角坐标系． 由题意知：A(3,0)，B(0,3)， 设M(x，y)，由＝2， 得解得即M点坐标为(2,1)， 所以·＝(2,1)·(0,3)＝3. 法二　　·＝(＋)·＝2＋×＝2＋·(－)＝2＝3. 答案　3 8．(2014·杭州质量检测)在AOB中，G为AOB的重心，且AOB＝60°，若·＝6，则||的最小值是________． 解析　　如图，在AOB中，＝＝×(＋)＝(＋)， 又·＝||||·cos 60°＝6， ∴||||＝12， ||2＝(＋)2＝(||2＋||2＋2·)＝(||2＋||2＋12)≥×＝×36＝4(当且仅当||＝||时取等号)．||≥2，故||的最小值是2. 答案　2 二、解答题 9．(2013·江苏卷)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0βαπ. (1)若|a－b|＝，求证：ab； (2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值． (1)证明　由|a－b|＝，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0，即a·b＝0，因此ab. (2)解　由已知条件 cos β＝－cos α＝cos(π－α)，由0απ，得0π－απ， 又0βπ，故β＝π－α.则sin α＋sin (π－α)＝1， 即sin α＝，故α＝或α＝. 当α＝时，β＝(舍去)，当α＝时，β＝. 所以，α，β的值分别为，. 10．已知向量m＝(sin x，－1)，n＝(cos x,3)． (1)当mn时，求的值； (2)已知在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c＝2asin(A＋B)，函数f(x)＝(m＋n)·m，求 f的取值范围． 解　(1)由mn，可得3sin x＝－cos x， 于是tan x＝－，＝＝＝－. (2)在ABC中A＋B＝π－C，于是 sin(A＋B)＝sin C， 由正弦定理，得sin C＝2sin Asin C， sin C≠0，sin A＝.又ABC为锐角三角形， A＝，于是B. ∵f(x)＝(m＋n)·m＝(sin x＋cos x,2)·(sin x，－1)＝sin2 x＋sin xcos x－2＝＋sin 2x－2＝sin－， f＝sin－＝sin 2B－.由B，得2Bπ， 0sin 2B≤1，－sin 2B－≤－， 即f(B＋)∈. 11．(2014·南京、盐城模拟)如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，AOP＝θ(0θπ)，