高考数学二轮复习 专题整合 7-2 计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列(必做部分） 理（含必威体育精装版原创题，含解析）.docVIP

第2讲　计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列 1．(2010·江苏卷)已知ABC的三边长都是有理数． (1)求证：cos A是有理数； (2)求证：对任意正整数n，cos nA是有理数． 证明　(1)设三边长分别为a，b，c，cos A＝， a，b，c是有理数， b2＋c2－a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性， 必为有理数，cos A是有理数． (2)当n＝1时，显然cos A是有理数； 当n＝2时，cos 2A＝2cos2A－1，因为cos A是有理数， cos 2A也是有理数； 假设当n≤k(k≥2)时，结论成立，即cos kA、cos(k－1)A均是有理数． 当n＝k＋1时，cos(k＋1)A＝cos kAcos A－sin kAsin A ＝cos kAcos A－[cos(kA－A)－cos(kA＋A)] ＝cos kAcos A－cos(k－1)A＋cos(k＋1)A 解得：cos(k＋1)A＝2cos kAcos A－cos(k－1)A cos A，cos kA，cos(k－1)A均是有理数， 2cos kAcos A－cos(k－1)A是有理数， cos(k＋1)A是有理数． 即当n＝k＋1时，结论成立． 综上所述，对于任意正整数n，cos nA是有理数． 2．记…的展开式中，x的系数为an，x2的系数为bn，其中nN*. (1)求an； (2)是否存在常数p，q(p＜q)，使bn＝，对nN*，n≥2恒成立？证明你的结论． 解　(1)根据多项式乘法运算法则，得 an＝＋＋…＋＝1－. (2)计算得b2＝，b3＝. 代入bn＝，解得p＝－2，q＝－1. 下面用数学归纳法证明bn＝＝－＋×(n≥2且nN*) ①当n＝2时，b2＝，结论成立． 设n＝k时成立，即bk＝－＋×， 则当n＝k＋1时， bk＋1＝bk＋＝－＋×＋－ ＝－＋×. 由可得存在常数p＝－2，q＝－1使结论对nN*，n≥2成立． 3．(2014·泰州中学调研)已知多项式f(n)＝n5＋n4＋n3－n. (1)求f(－1)及f(2)的值； (2)试探求对一切整数n，f(n)是否一定是整数？并证明你的结论． 解　(1)f(－1)＝0，f(2)＝17. (2)先用数学归纳法证明，对一切正整数n，f(n)是整数． 当n＝1时，f(1)＝1，结论成立． 假设当n＝k(k≥1，kN)时，结论成立，即f(k)＝k5＋k4＋k3－k是整数，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(k＋1)5＋(k＋1)4＋(k＋1)3－(k＋1) ＝＋ ＋－ (k＋1)＝f(k)＋k4＋4k3＋6k2＋4k＋1. 根据假设f(k)是整数，而k4＋4k3＋6k2＋4k＋1显然是整数． f(k＋1)是整数，从而当n＝k＋1时，结论也成立． 由、可知对一切正整数n，f(n)是整数． (i)当n＝0时，f(0)＝0是整数 (ii)当n为负整数时，令n＝－m，则m是正整数，由(i)知f(m)是整数， 所以f(n)＝f(－m)＝(－m)5＋(－m)4＋(－m)3－(－m)＝－m5＋m4－m3＋m＝－f(m)＋m4是整数． 综上，对一切整数n，f(n)一定是整数． 4．(2012·江苏卷)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1. (1)求概率P(ξ＝0)； (2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)． 解　(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝. (2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P(ξ＝)＝＝， 于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝， 所以随机变量ξ的分布列是 ξ 0 1 P(ξ) 因此E(ξ)＝1×＋×＝. 5．(2014·无锡五校联考)无锡学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(ξ＞0)＝. (1)求文娱队的队员人数； (2)写出ξ的概率分布列并计算E(ξ)． 解　设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有(7－x)人，只会一项的人数是(7－2x)人． (1)∵P(ξ＞0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝，P(ξ＝0)＝，即＝. ＝，解得x＝2. 故文娱队共有5人． (2)P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， ξ的概率分布列为 ξ 0 1 2 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 6．(2014·徐州质检)一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分．经过多次试验，某人投掷10