高考数学一轮复习（知识回扣+热点突破+能力提升）圆的方程 理 北师大版.docVIP

第三节　圆 的 方 程1．掌握确定圆的几何要素．2．掌握圆的标准方程与一般方程． 1．圆的定义、方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方程 标 准 (x－a)2＋(y－b)2 ＝r2(r0) 圆心C的坐标(a，b) 半径为r 一 般 x2＋y2＋Dx＋ Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F0 圆心坐标： 半径r＝ 2．点与圆的位置关系 (1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三个结论 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)， (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆上； (x0－a)2＋(y0－b)2r2点在圆外； (x0－a)2＋(y0－b)2r2点在圆内． 1．确定圆的方程需要几个独立条件？ 提示：由圆的标准方程(或一般方程)知：确定圆的方程需要三个独立条件． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？ 提示：不一定．当D2＋E2－4F0时，上述方程才表示圆；当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；当D2＋E2－4F0时，方程不表示任何图形． 1．(教材习题改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) 　 　 　 　　　 　 　 　　　 　 　 　　 A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析：选D　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 2．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是(　　) A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0 解析：选C　将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线必定过圆心，而圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心坐标为(1,2)，且(1,2)在直线x－y＋1＝0上． 3．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是(　　) A．－1a1 B．0a1 C．－1a D．－a1 解析：选A　点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，(2a)2＋a25，解得－1a1. 4．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是____________． 解析：因为x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆， 所以a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＝5a2－8a2－4a＋4＝－3a2－4a＋40.解得－2a. 答案： 5．(教材习题改编)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为__________________． 解析：设圆心坐标为(a,0)，依题意得 (a－5)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2， 所以圆心坐标为(2,0)，半径r＝＝， 即圆的方程为(x－2)2＋y2＝10. 答案：(x－2)2＋y2＝10 考点一 求圆的方程 　 [例1]　(1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________________． (2)(2013·江西高考)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________________． [自主解答]　(1)法一：由题知kAB＝2，A，B的中点为(4,0)，设圆心为C(a，b)． 圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，圆心一定在线段AB的垂直平分线上． 则解得C(2,1)，r＝|CA|＝＝. 所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10. 法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则 解得 故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10. 法三：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)， 则解得D＝－4，E＝－2，F＝－5. 所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0. (2)由已知可设圆心为(2，b)，由22＋b2＝(1－b)2＝r2，得b＝－，r2＝. 故圆C的方程为(x－2)2＋2＝. [答案]　(1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)　(2)(x－2)2＋2＝ 本例(2)中“与直线y＝1相切”改为“圆心在y＝1上”，结果如何？ 解：圆过点O(0,0)和点(4,0)．圆心在直线x＝2上， 又圆心在y＝1上，圆心的坐标为(2,1)，半径r＝＝. 因此，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.　　　　　 求圆的方程的两种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值． 求下列圆的