高考数学二轮复习 专题整合 1-4 导数的简单应用 理（含必威体育精装版原创题，含解析）.docVIP

第4讲　导数的简单应用 一、填空题 1．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为________． 解析　　由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0x≤1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1]． 答案　(0,1] 2．(2014·扬州质量检测)已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________． 解析　　因为f(x)在x＝a处取到极大值，所以x＝a为f′(x)的一个零点，且在x＝a的左边f′(x)＞0，右边f′(x)＜0，所以导函数f′(x)的开口向下，且a＞－1，即a的取值范围是(－1,0)． 答案　(－1,0) 3．已知函数y＝f(x)(xR)的图象如图所示，则不等式xf′(x)0的解集为________． 解析　　xf′(x)0或 当x时，f(x)单调递减，此时f′(x)0. 当x(－∞，0)时，f(x)单调递增，此时f′(x)0. 答案　 4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是______． 解析　　由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a0，解得a2. 答案　(，2) 5．(2013·苏锡常镇调研)已知a，b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，则f(x)在[－1,0]上的最小值为________． 解析　　因为函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，所以函数g(x)＝ax3＋bx在[0,1]上的最大值为2，而g(x)是奇函数，所以g(x)在[－1,0]上的最小值为－2，故f(x)在[－1,0]上的最小值为－2＋2－1＝－. 答案　－ 6．(2014·宿迁摸底)已知等比数列{an}中，a1＝1，a9＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a9)＋2，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为________． 解析　　{an}中，a1＝1，a9＝4，a5＝＝2.f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a9)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a9)]′，f′(0)＝(－a1)(－a2)…(－a9)＝－a＝－29＝－512. 答案　－512 7．(2014·南通调研)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋b是曲线y＝aln x的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是________． 解析　　(x0，aln x0)，所以所以b′＝ln a，0，a＝1，0＜a＜10，；a＞10，a＝1，bbmin＝－1. 答案　－1 8．(2013·盐城调研)若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________． 解析　　依题意知f′(x)＝12x2－2ax－2b， f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，a＋b＝6. 又a0，b0，ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，ab的最大值为9. 答案　9 二、解答题 9．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值； (2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值． 解　(1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4 ＝ex(ax＋a＋b)－2x－4， y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4， f′(0)＝a＋b－4＝4，f(0)＝b＝4， a＝4，b＝4. (2)由(1)知f′(x)＝4ex(x＋2)－2(x＋2) ＝2(x＋2)(2ex－1)， 令f′(x)＝0，得x＝－2或ln ， 列表： x (－∞，－2) －2 ln f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 ∴y＝f(x)在(－∞，－2)，上单调递增； 在上单调递减． 故f(x)极大值＝f(－2)＝4－4e－2. 10．(2014·上饶模拟)已知f(x)＝2ax－－(2＋a)ln x(a≥0)． (1)当a＝1时，求f(x)的极值； (2)当a＞0时，讨论f(x)的单调性． 解　(1)当a＝1时，f(x)＝2x－－3ln x， f′(x)＝2＋－(x＞0) ＝＝， 令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝1. 当0＜x＜时，f′(x)＞0； 当＜x＜1时，f′(x)＜0； 当x＞1时，f′(x)＞0. 可知f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数． f(x)的极大值为f＝3ln 2－1，f(x)的极小值为f(1)＝1. (2)f(x)＝2ax－－(2＋a)ln xf′(x