高三数学一轮基础巩固 第4章 第6节 正弦定理和余弦定理（含解析）北师大版.docVIP

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第4章 第6节 正弦定理和余弦定理 北师大版 一、选择题 1．在ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　) A．4　　　　　　　　 B．2 C．　 D． [答案]　B [解析]　本题考查“已知两角及一角的对边”解三角形，由正弦定理得：＝，即AC＝2. 2．(2014·广东高考)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的(　　) A．充分必要条件　 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件　 D．非充分非必要条件 [答案]　A [解析]　本题考查三角形内角和，诱导公式及充要条件．由a≤b得A≤B．当B为锐角时，sinA≤sinB；当B为直角时，sinA≤sinB；当B为钝角时，π－B＝A＋CA，此时π－B为锐角，所以sin(π－B)sinA，即sinBsinA，综上：sinA≤sinB．反之亦成立，选A． 3．ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，C．若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　　) A．2　 B．2 C．　 D．1 [答案]　B [解析]　本题考查正弦定理、二倍角公式等． 由正弦定理得＝＝＝， 即2sinAcosA＝sinA， 又sinA0，cosA＝，A＝，B＝，C＝， c＝2. 4．(文)在ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是(　　) A．(0，]　 B．[，π) C．(0，]　 D．[，π) [答案]　C [解析]　本题主要考查正余弦定理， sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC， 由正弦定理得：a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc， 由余弦定理得：cosA＝≥＝， 0A≤，故选C． (理)在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为(　　) A．　 B． C．　 D．－ [答案]　C [解析]　本题考查了余弦定理、基本不等式等知识． 由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcosC，a2＋b2＝2c2， c2＝2abcosC，又由2c2＝a2＋b2≥2ab得c2≥ab， cosC＝≥，故选C． 5．(2014·新课标)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　) A．5　 B． C．2　 D．1 [答案]　B [解析]　本题考查余弦定理及三角形的面积公式． S△ABC＝acsinB＝··1·sinB＝， sinB＝，B＝或. 当B＝时， 经计算ABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去． B＝，根据余弦定理， b2＝a2＋c2－2accosB，解得b＝，故选B． 6．ABC中，a2tanB＝b2tanA，则三角形的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 [答案]　C [解析]　由正弦定理得sin2AtanB＝sin2BtanA， sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B． 又因为A，B(0，π)，所以A＝B或A＋B＝90°. 二、填空题 7．(文)(2014·湖北高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________. [答案]　或 [解析]　本题考查正弦定理． 由正弦定理得＝，所以sinB＝.又因为ba，所以B＝或. (理)(2014·天津高考)在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________． [答案]　－ [解析]　2sinB＝3sinC，2b＝3c， 又b－c＝a， b＝a，c＝a， cosA＝＝＝－. 8．(文)在ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C的大小为________． [答案]　 [解析]　本题考查已知两边及其一边的对角解三角形，由正弦定理得＝，即＝， sinB＝，又ab，AB，B＝. 又A＋B＋C＝π，C＝. (理)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则ABC为________． [答案]　钝角三角形 [解析]　ABC中，cosA，cbcosA， 由正弦定理得sinCsinBcosA， sin(A＋B)sinBcosA， sinAcosB＋cosAsinBsinBcosA，sinAcosB0. 又sinA0，cosB0.故B为钝角． ABC为钝角三角形． 9．在ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程x2－2x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，则AB＝________. [答案]　 [解析]　设AB＝c， ∴cosC＝－. 又cosC＝＝ ＝＝－， c2＝10，c＝，即AB＝. 三、解答题 10．在ABC中，已知a＝，