高三数学 专项精析精炼 2010年考点20 空间向量 .docVIP

考点20 空间向量 1.（2010·广东高考理科·Ｔ１0）若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件=-2,则= . 【命题立意】本题考查空间向量的坐标运算及向量的数量积运算. 【思路点拨】 先算出，，再由向量的数量积列出方程，从而求出 【规范解答】，，由， 得，即，解得 【答案】2 2.（2010·浙江高考理科·Ｔ20）如图， 在矩形中，点分别在线段 上，.沿直线将 翻折成，使平面. （Ⅰ）求二面角的余弦值. （Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长. 【命题立意】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力. 【思路点拨】方法一利用垂直关系建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题；方法二利用几何法解决求二面角问题和翻折问题. 【规范解答】方法一：（Ⅰ）取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,又因为平面平面. 如图建立空间直角坐标系，则（2，2，）， C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）.故=（-2，2，2），=（6，0，0）.设=（x,y,z）为平面的一个法向量，所以 取，得. 又平面FDC的一个法向量，故. 所以所求二面角的余弦值为. （Ⅱ）设，则，， 因为翻折后，与重合，所以，， 所以. 方法二： （Ⅰ）取线段的中点,的中点,连结. 因为=及是的中点，所以.又因为平面平面，所以平面,又平面,故. 又因为，是，的中点，易知∥，所以， 又GH∩A′H=H,于是平面，所以为二面角A′-FD-C的平面角， 在中，=，=2，=，所以. 故二面角A′-FD-C的余弦值为. （Ⅱ）设, 因为翻折后，与重合， 所以， 而， ++， 得，经检验，此时点在线段上，所以. 【方法技巧】(1)利用向量法解决立体几何问题关键是建系，一般要找到三个互相垂直的直线建系，这种方法思路相对简单，但计算量大. (2)翻折问题要找好在翻折的过程中变化的与不变化的量，注意点、线、面等元素间位置关系的变化. 3.（2010·陕西高考理科·Ｔ１8）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2， BC=，E，F分别是AD,PC的中点. （Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF. （Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小. 【命题立意】本题考查了空间几何体的的线线、 线面垂直以及二面角的求解问题，考查了考生的 空间想象能力、空间思维能力以及利用空间向量解决立体几何问题的方法与技巧. 【思路点拨】思路一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解； 思路二：利用几何法求解. 【规范解答】方法一：（Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.∵AP=AB=2， BC=，四边形ABCD是矩形. ∴A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ,0)， D(0，，0)，P(0,0,2) 又E，F分别是AD，PC的中点， ∴E(0，，0),F(1，，1). ∴=（2，，-2）,=（-1，，1）,=（1,0, 1）， ∴·=-2+4-2=0，·=2+0-2=0， ∴⊥，⊥， ∴PC⊥BF,PC⊥EF, ,∴PC⊥平面BEF, （II）由（I）知平面BEF的一个法向量 平面BAP 的一个法向量 设平面BEF与平面BAP的夹角为， 则 ∴45°， ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45°. 方法二：（I）连接PE，EC，在中， PA=AB=CD, AE=DE, ∴ PE= CE, 即PEC 是等腰三角形， 又F是PC 的中点，∴EF⊥PC, （Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，又底面ABCD是矩形，所以AB⊥BC， 平面BAP，又PB平面BAP，∴，又由（1）知平面BEF， ∴直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角； 在△PBC中，PB=BC,90°,45°，所以平面BEF与平面BAP的夹角为45°. 4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ19）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点. （Ⅰ）证明：CM⊥SN. （Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小. 【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【规范解答】 设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图. 则P(0,0,1)，C(0,