高三数学 专项精析精炼 2010年考点17 推理与证明 .docVIP

考点17 推理与证明 1.（2010·山东高考文科·Ｔ１０）观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（ ） （A） (B) (C) (D) 【命题立意】本题考查归纳推理的有关知识，考查了考生的观察问题，分析问题，解决问题的能力. 【思路点拨】观察所给的结论，通过归纳类比联想，得出结论. 【规范解答】选D．通过观察所给的结论可知，若是偶函数，则其导函数是奇函数，故选D． 2.（2010·陕西高考理科·Ｔ１２）观察下列等式：,……根据上述规律，第五个等式为 ____________. 【命题立意】本题考查归纳推理，属送分题． 【思路点拨】找出等式两边底数的规律是解题的关键． 【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下： 即左边底数的和等于右边的底数，故第五个等式为： 【答案】 3.（2010·福建高考文科·Ｔ１６）观察下列等式： 可以推测，m – n + p = . 【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解． 【思路点拨】根据归纳推理可得． 【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，，，又，，． 【答案】962 4.（2010·浙江高考理科·Ｔ14）设， 将的最小值记为，则 其中=__________________ . 【命题立意】本题考查合情推理与演绎推理的相关知识，熟练掌握相关的推理规则是关键． 【思路点拨】观察的奇数项与偶数项的特点． 【规范解答】观察表达式的特点可以看出，……当为偶数时，；，，……当为奇数时，． 【答案】 5.（2010·北京高考文科·Ｔ20） 已知集合，对于，定义A与B的差为， A与B之间的距离为. （1）当n=5时，设，求，. （2）证明：，且. （3） 证明：三个数中至少有一个是偶数. 【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力.本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求.要求教师真正重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”“创新能力”的培养． 【思路点拨】（1）（2）直接按定义求解证明即可.(3) “至少”问题可采用反证法证明． 【规范解答】（1）＝（1,0,1,0,1）， ＝3. (2)设， 所以中1的个数为k,中1的个数为， 设是使成立的的个数，则， 由此可知，三个数不可能都是奇数， 即三个数中至少有一个是偶数． 6.（2010·北京高考理科·Ｔ20）已知集合， 对于，定义A与B的差为 A与B之间的距离为. （1）证明：，且. （2）证明：三个数中至少有一个是偶数. (3) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P). 证明：（P）≤. 【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力，考查了反证法、不等式证明等知识．本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求．要求教师真正重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”“创新能力”的培养． 【思路点拨】（1）直接按定义证明即可．（2）“至少”问题可采用反证法证明．(3)把表示出来，再利用基本不等式证明． 【规范解答】（1）设，，， 因为，，所以 ， 从而， 又, 由题意知，，. 当时，; 当时，, 所以. (2)设，，, ，，. 记，由（1）可知, ， , , 所以中1的个数为，中1的个数为． 设是使成立的的个数，则, 由此可知，三个数不可能都是奇数， 即,,三个数中至少有一个是偶数． （3）,其中表示中所有两个元素间距离的总和， 设中所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0, 则＝, 由于, 所以, 从而. 【方法技巧】（1）证明“至少有一个……”时，一般采用反证法． （2）证明不等式时要多观察形式，适当变形转化为基本不等式． 7.（2010·江苏高考·Ｔ23）已知△ABC的三边长都是有理数， 求证：cosA是有理数. （2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数. 【命题立意】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】（1）利用余弦定理表示cosA，由三边是有理数，求得结论. （2）可利用数学归纳法证明. 【规范解答】方法一：（1）设三边长分别为，，∵是有理数， 是有理数，分母为有理数，又有理数集对于除法具有封闭性， ∴必为有理数，∴cosA是有理数. （2）①当时，显然cosA是有理数； 当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数. ②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数， 当时，， ， ， 解得：， ∵c