《北京工业大学-工程数学-薛毅-作业1》.docxVIP

数学建模入门 贷款问题 小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是0.6% /月。他们采用等额还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款。 （1）在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？ （2）在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？ （3）如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%/月调整到0.8%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？ （4）某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款，但条件是： （i）每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2； （ii）因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。 试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。 解答： 首先根据已知条件建立贷款还款的数学模型： 假设ai为第i个月的欠款额，r为月利率（本题中初始为0.6%），x为每月的还款额。 由题中所描述的等额还款方式（每月还款额相同）可得出还款的迭代方式如下： 第i个月的欠款额＝第（i-1）个月的欠款额*月利率＋第（i-1）个月的欠款额－每月的还款额。 期数本金利息还款额归还本金 = 还款额 - 当月利息剩余本金1a1a1*0.6%xb1=x-a1*0.6%c1=a1-b12a2=c1a2*0.6%xb2=x-a2*0.6%c2=a2-b23a3=c2a3*0.6%xb3=x-a3*0.6%c3=a3-b3………………240a240=c239a240*0.6%xb240=x-a240*0.6%c240=a240-b240=0　　　　　　迭代公式a(i) = a(i-1)-b(i-1) =a(i-1)-[x-a(i-1)*0.6%] = a(i-1)(1+0.6%)-x 即：ai＝ai－1(1＋r)－x，i＝1,2, …, n（本题中n为240） 由以上模型可得出题目解答： 根据建模公式推算，小王夫妇第i个月的欠款额应为： ai ＝ai－1(1＋r)－x＝a0(1＋r)i－x[(1＋r) i??1＋…＋(1＋r)＋1] ＝a0(1＋r)i－x 第n个月还款完，即an＝0令i＝n，得：x＝＞a0r 小王夫妇贷款20万则a0＝200000，银行利率为r＝0.6%，贷款20年为240个月，则n＝240 所以:x＝＝＝1574.70 即：小王夫妇每月应还款1574.70元 合计还款总额：1574.70*240=377928.00元 合计付利息1574.70*240－200000＝177928.00元 （2）满五年后提前还款，则应计算i＝60时的欠款总额并一次还清。 a60＝200000*(1＋0.006)60－1574.71*＝173034.90元 所以小王夫妇在第6年初一次付给银行173034.90元即可将欠款还清 （3）五年后利率调整，即为，贷款额为剩余欠款173034.90元，a0＝173034.90，银行利率为r＝0.8%，贷款15年为180个月，则n＝180 所以，x＝＝＝1817.33元 第六年利率调整后，每月应还款1817.33元。 （4）若小王夫妇不请借贷公司还款，由题（1）已知还款总额=377928.0元。 若请借贷公司帮助还款，则是提前三年还完，即17年还完贷款。每半个月付款是原来付款的一半，但是需要付两次，每个月还款额不变。 每次还款额：1574.699*0.5， 总的还款次数：17*12*2＝408， 付给借贷公司佣金：200000*10% 所以，通过借贷公司还款的总的还款额： 1574.699*0.5*408+200000*10%＝341238.60元。 相比之下，委托借贷公司可以节省377928.00－341238.60＝36689.2元，所以小王夫妇可以考虑委托借贷公司还款。 冷却定律与破案 按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为To (ToT)的环境中冷却的速度与温差T-To成正比。你能用该定律确定张某是否是下面案件中的犯罪嫌疑人。 某公安局于晚上7时30分发现一具女尸，当晚8时20分法医测得尸体温 度为32.6℃,一小时后，尸体被抬走时又测得尸体温度为31.4℃,，已知室温在几个小时内均为21.1℃,由案情分析得知张某是此案的主要犯罪嫌疑人，但张某矢口否认，并有证人说:“下午张某一直在办公室，下午5时打一个电话后才离开办公室”。从办公室到案发现场步行需要5分钟，问张某是否能被排除在犯