上海教育版高中数学一下5.2《任意角的三角比》word教案.docVIP

5.2(1) 任意角的三角比 上海市杨浦高级中学 方耀华 一、教学内容分析 　　通过平面直角坐标系定义了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个三角比，并利用与单位圆有关的线段，将前三个三角比的值分别用它们的几何形式表示出来；接着着重研究正弦、余弦、正切这三个三角比的条件和其在各个象限的符号；并根据三角比的定义，得出“终边重合的角的同一三角比的值相等”的结论及把此结论表示成为第一组诱导公式（公式一）． 二、教学目标设计 (1) 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；了解余切、正割、余割的定义；掌握正弦、余弦、正切的条件要求；体会同一角三角值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示在研究问题时，要能在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑． 五、教学过程设计 一、情景引入 回顾：在初中我们学习了锐角的三角比，它是在直角三角形的条件下，通过角的对边、邻边与斜边之间两两的比值来定义的.例如： 引入：前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们研究任意角的三角比. 把锐角置于平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.易知在角的终边上，设它的坐标为，它与原点的距离，可发现作为锐角的三角比能用其终边上的点的坐标来定义，而这种定义方法可用于定义任意角的三角比. 二、学习新课 1、概念形成 任意角的三角比定义 设是一个任意角，在的终边上任取一点（除原点）， 则与原点的距离， 比值叫做的正弦 记作： 比值叫做的余弦 记作： 比值叫做的正切 记作： 比值叫做的余切 记作： 比值叫做的正割 记作： 比值叫做的余割 记作： 提问：对于确定的角，这六个三角比值的大小与点在角终边上的位置是否有关？ 利用相似三角形的知识，可以得出对于确定的角，这六个三角比值的大小与点在角的终边上的位置无关． 提问：根据这六个三角比的定义，是否对于任意的一个角，它的六个三角比都存在呢？ (1) 当角的终边在纵轴上时，即时，终边上任意一点的横坐标都为0，所以、无意义； (2) 当角的终边在横轴上时，即时，终边上任意一点的纵坐标都为0，所以、无意义. 从而有： ] [说明]] (1) 以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与轴的非负半轴重合. (2) 是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的. (3) 是个整体符号，不能认为是“”与“”的积，其余五个符号也是这样. (4) 三角比值只与角的大小有关. (5) 任意角三角比的定义与锐角三角比的定义的联系与区别: 任意角的三角比就包含了锐角三角比，实质上锐角三角比的定义与任意角的三角比的定义是一致的，锐角三角比是任意角三角比的一种特例. 所不同的是，锐角三角比是以边的比来定义的，任意角的三角比是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的. 为了便于记忆，我们可以利用两种三角比定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角比进行类比记忆. 2、三角比的一种几何表示 （一）单位圆和有向线段 (1) 单位圆：半径等于单位长度1的圆叫做单位圆. (2) 有向线段（非严格定义）：带有方向的线段叫做有向线段. 设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，设它与角的终边（当在第一、四象限角时）或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于. 规定：当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值； 当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值； 当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值； 根据上面规定，则, 利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线.如下图3． 图3 由正弦、余弦、正切三角比的定义有 这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线．当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线则不存在． 例1：已知角的终边经过点，求的六个三角函数值. 答： 提问：若将改为，如何求的六个三角函数值呢？（注意：分和两种情况进行讨论） 例2：求下列各角的六个三角比值 (1) 　　(2) 　 (3)