离心率问题探究.docVIP

高考数学题中永不消逝的 “离心率” 余继光 312030绍兴柯桥山阴路785号柯桥中学 每年高考数学题中总是离不开圆锥曲线的“离心率”问题，为什么会如此呢？其一，离心率是圆锥曲线的重要几何特征；其二，圆锥曲线的离心率与其他基本量联系密切，容易产生知识交汇；其三，离心率与非解析几何知识相融合可以检测学生的综合分析能力． 1．离心率与平面几何 椭圆与双曲线与平面几何中的三角形，四边形，圆等相融合，会形成许多涉及离心率的问题 例1．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________ 解析：设椭圆与正三角形的另两条边交于A，B，则AF2=c，AF1=c，于是c+c=2a，e==－1 变式1．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为一条对角线作正方形，若椭圆恰好平分正方形的四条边，则椭圆的离心率为________ 解析：设椭圆与正方形的上两条边交于A，B，则AF2=c=c，AF1=c，于是c+c=2a，e== 变式2．设双曲线的两个焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形MF1F2，若MF1中点在双曲线上，那么此双曲线的离心率为（） A． B． C．1+ D． 解析：|F1F2|=2c，|MF1|=c，|MF2|=c，c－ c=2a，e=1+，选择C c=c，AF1=c，于是c－c=2a，e== 例2．已知椭圆（0）与双曲线 有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1 的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1 恰好将线段AB三等分，则椭圆的离心率为_____ 解析：a2－b2=5，，解得x2=，y2= 又x2+y2=， =，a2=11b2，e2=1－=，e= 变式：（2011年浙江）已知椭圆（0）与双曲线 有公共的焦点，的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于两点，若 恰好将线段三等分，则（） A． B．13 C． D．2 解析：a2－b2=5，，解得x2=，y2= 又x2+y2=， =，a2=11b2，由，b2=，选择C 2．离心率与图形挖掘 解析几何中的问题是运用代数方法研究几何图形的性质，因此充分挖掘几何图形的几何性质是解决解析几何问题的金钥匙，离心率是一个重要的几何性质，所以会与几何图形性质有着千丝万缕的联系 例3．（2010年辽宁）设双曲线的—个焦点为F，虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 解析：设双曲线方程为，则F（c,0）,B(0,b) 直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac 所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或（舍去） 变式．（2011年福建）设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线C的离心率等于（） A． B．或2 C．2 D． 解析：，r1：2c：r2=4：3：2，r1=c，r2=c， 若圆锥曲线为椭圆，则2a=r1+r2=c+c=4c，e= 若圆锥曲线为双曲线，则2a=r1－r2=c－c=c，e= 例4．已知双曲线的两条渐近线均与圆C：x2+y2－6x+5=0相交，则双曲线的离心率取值范围为____ 解析：圆心（3，0），半径为2，渐近线bx－ay=0，≤2，≤，1＜e2≤ 1＜e≤ 变式（2011年山东）已知双曲线的两条渐近线均与圆C：x2+y2－6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（） A. B. C. D. 解析：圆，而，则，应选A 3．离心率与向量运算 向量融入解析几何问题之中，一直是高考数学解析几何问题的一个热点，为了探索离心率大小，需要运用向量运算建立a，b，c关系，从而达到目的． 例5．点P（－1，－3）在双曲线－=1（a＞0，b＞0）的左准线x=－上，过点P且方向为=（－2，5）的光线经直线y=2反射后通过双曲线的左焦点，则这个双曲线的离心率为（ ）A． B． C．2 D． 解析：设Q（x0，2），F1（－c，0） 则由PQ∥得= －，解得x0=－3 又kPQ+k=0，+=0，c= 而－=－1，选择D 变式：（2005江苏）点在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D． 解析：设Q（x0，－2），F1（－c，0） 则由PQ∥得= －，解得x0=－ 又kPQ+k=0，+=0 ∴3c=－5x0－6，c=1，而－=－3，∴a=，e=，选择A 反思：圆锥曲线的离心率是高考中常考的一个知识点，