《高考数学二轮专题检测：12 函数的零点——关键抓住破题题眼》.docVIP

12　函数的零点——关键抓住破题题眼 1．f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为________． 答案　5 解析　∵2sin πx－x＋1＝0，∴2sin πx＝x－1，图象如图所示，由图象看出y＝2sin πx与y＝x－1有5个交点， ∴f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为5. 2．方程|x2－2x|＝a2＋1(a0)的解的个数是________． 答案　2 解析　(数形结合法) ∵a0，∴a2＋11.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点． 3．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0a1)的所有零点之和为________． 答案　1－2a 解析　当0≤x1时，f(x)≤0. 由F(x)＝f(x)－a＝0，画出函数y＝f(x)与y＝a的图象如图． 函数F(x)＝f(x)－a有5个零点． 当－1x0时，0－x1， 所以f(－x)＝log0.5(－x＋1)＝－log2(1－x)， 即f(x)＝log2(1－x)，－1x0. 由f(x)＝log2(1－x)＝a， 解得x＝1－2a， 因为函数f(x)为奇函数， 所以函数F(x)＝f(x)－a(0a1)的所有零点之和为1－2a. 4．已知f(x)＝则函数的零点个数为________． 答案　2 解析　当x0时，由f(x)＝0，即ln(x2－x＋1)＝0， 得x2－x＋1＝1，解得x＝0(舍去)或x＝1. 当x≤0时，f(x)＝ex－x－2，f′(x)＝ex－1≤0， 所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递减． 而f(0)＝e0－0－2＝－10，f(－2)＝e－2－(－2)－2＝e－20， 故函数f(x)在(－2,0)上有且只有一个零点． 综上，函数f(x)有两个零点． 5．(2013·天津改编)函数f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零点个数为________． 答案　2 解析　当0x1时，f(x)＝2xlog0.5x－1，令f(x)＝0，则log0.5x＝x， 由y＝log0.5x，y＝x的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f(x)在(0,1)上有一个零点． 当x1时，f(x)＝－2xlog0.5x－1＝2xlog2x－1， 令f(x)＝0得log2x＝x， 由y＝log2x，y＝x的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点，综上有两个零点． 6．已知函数f(x)＝则下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是________． ①当k0时，有3个零点；当k0时，有2个零点； ②当k0时，有4个零点；当k0时，有1个零点； ③无论k为何值，均有2个零点； ④无论k为何值，均有4个零点． 答案　② 解析　当k0时，f(f(x))＝－1，综合图(1)分析， 则f(x)＝t1∈(－∞，－)或f(x)＝t2∈(0,1)． 对于f(x)＝t1，存在两个零点x1，x2； 对于f(x)＝t2，存在两个零点x3，x4. 此时共计存在4个零点． 当k0时，f(f(x))＝－1，结合图(2)分析， 则f(x)＝t∈(0,1)，此时仅有1个零点x0.故②正确． 7．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a0，且a≠1)，当2a3b4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________. 答案　2 解析　由于2a3b4，故f(1)＝loga1＋1－b＝1－b0， 而0loga21,2－b∈(－2，－1)， 故f(2)＝loga2＋2－b0， 又loga3∈(1,2)，3－b∈(－1,0)， 故f(3)＝loga3＋3－b0， 因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n＝2. 8．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________． 答案　2 解析　方程变形为3－x2＝2－x＝()x， 令y1＝3－x2，y2＝()x. 如图所示，由图象可知有2个交点． 9．(2014·连云港模拟)已知函数f(x)＝2ax2＋2x－3.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，则实数a的取值范围为________． 答案　 解析　若a＝0，则f(x)＝2x－3， f(x)＝0?x＝?[－1,1]，不合题意，故a≠0. 下面就a≠0分两种情况讨论： (1)当f(－1)·f(1)≤0时，f(x)在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a－5)(2a－1)≤0，解得≤a≤. (2)当f(－1)·f(1)0时，f(x)在[－1,1]上有零点的条件是　解得a. 综上，实数a的取值范围为. 10．(2014·天津)已知函数f(x)＝ 若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________． 答案　1a2 解析　画出