《高考数学二轮专题检测：19 三角函数化简与求值策略》.docVIP

19　三角函数化简与求值策略 1．若sin(π＋α)＝－，则cos α＝________. 答案　± 解析　由sin(π＋α)＝－，得－sin α＝－， 即sin α＝， ∴cos α＝±＝±. 2．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为________． 答案　－3 解析　tan α＋tan β＝3，tan α×tan β＝2， 所以tan(α＋β)＝＝－3. 3．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为________． 答案　 解析　sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x) ＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)[－cos(70°＋x)] ＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°) ＝sin(65°－x＋x－20°) ＝sin 45°＝. 4． 的值是________． 答案　 解析　原式＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. 5．若0α，－β0，cos＝，cos＝，则cos＝________. 答案　 解析　∵cos＝，0α， ∴sin＝. 又∵cos＝，－β0， ∴sin＝， ∴cos＝cos ＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝. 6．(2014·课标全国Ⅰ改编)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，则2α－β＝________. 答案　 解析　由tan α＝得＝， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(－α)． ∵α∈(0，)，β∈(0，)， ∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)， ∴由sin(α－β)＝sin(－α)，得α－β＝－α， ∴2α－β＝. 7．已知tan α＝2，则的值为________． 答案　 解析　＝ ＝＝tan α＋＝. 8.·的值为________． 答案　1 解析　原式＝· ＝·＝1. 9．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝________. 答案　－ 解析　方法一　因为sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)， 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， 所以sin θcos θ＝－. 由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的两根， 所以x1＝，x2＝－. 又sin θcos θ＝－0， 所以sin θ0，cos θ0. 所以sin θ＝，cos θ＝－. 所以tan θ＝＝－. 方法二　同法一，得sin θcos θ＝－， 所以＝－. 齐次化切，得＝－， 即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0， 解得tan θ＝－或tan θ＝－. 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝0， sin θcos θ＝－0. 所以θ∈(，)，所以tan θ＝－. 10．已知sin θ＋cos θ＝(0θ)，则sin θ－cos θ的值为________． 答案　－ 解析　∵sin θ＋cos θ＝， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝， ∴2cos θcos θ＝， ∴(sin θ－cos θ)2＝1－＝， 又θ∈(0，)，∴sin θcos θ，∴sin θ－cos θ＝－. 11．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0βα. (1)求tan 2α的值； (2)求β. 解　(1)由cos α＝，0α，得 sin α＝＝ ＝. ∴tan α＝＝×＝4， 于是tan 2α＝＝＝－. (2)由0βα，得0α－β， 又∵cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝＝ ＝. 由β＝α－(α－β)， 得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×＝， ∴β＝. 12．已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈(，2π)，且a⊥b. (1)求tan α的值； (2)求cos(＋)的值． 解　(1)∵a⊥b，∴a·b＝0. 而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)， ∴a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0， ∵cos α≠0，∴6tan2α＋5tan α－4＝0. 解得tan α＝－或tan α＝. ∵α∈(，2π)，∴tan α0， ∴tan α＝－. (2)∵α∈(，2π)，∴∈(，π)． 由tan α＝－， 求得tan ＝－或tan ＝2(舍去)． ∴sin ＝，cos ＝－， ∴cos(＋)＝cos cos －sin sin ＝－×－× ＝－.